Упр.3.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите, если это возможно, такие целые числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$, что для всех значений $$x$$ выполняется равенство:
а) $$x^4+x^3-4x^2-x+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$;
б) $$x^4+x^2-4x-3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$;
в) $$x^4-5x^2-6x-5=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$;
г) $$x^4-5x-6=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$.
а) Пусть
$$x^4+x^3-4x^2-x+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Раскроем скобки и сравним коэффициенты:
$$x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd.$$
Тогда получаем систему:
$$\begin{cases} a+c=1,\\ b+d+ac=-4,\\ ad+bc=-1,\\ bd=1. \end{cases}$$
Из условия $$bd=1$$ возможны только пары $$b=d=1$$ или $$b=d=-1$$.
1) Если $$b=d=1$$, то из системы получаем $$ac=-6$$ и $$a+c=1$$, что невозможно для целых чисел.
2) Если $$b=d=-1$$, то тогда
$$\begin{cases} a+c=1,\\ ac=-2. \end{cases}$$
Подходят числа $$a=2,\ c=-1$$ или $$a=-1,\ c=2$$.
Значит,
$$x^4+x^3-4x^2-x+1=(x^2-x-1)(x^2+2x-1).$$
Следовательно, $$a=-1,\ b=-1,\ c=2,\ d=-1$$ или $$a=2,\ b=-1,\ c=-1,\ d=-1$$.
б) Пусть
$$x^4+x^2-4x-3=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Сравнивая коэффициенты, получаем:
$$\begin{cases} a+c=0,\\ b+d+ac=1,\\ ad+bc=-4,\\ bd=-3. \end{cases}$$
Из $$bd=-3$$ возможны пары $$b=1,\ d=-3$$; $$b=-1,\ d=3$$; $$b=3,\ d=-1$$; $$b=-3,\ d=1$$.
Проверка даёт единственный подходящий вариант:
$$x^4+x^2-4x-3=(x^2-x-1)(x^2+x+3).$$
Значит, $$a=-1,\ b=-1,\ c=1,\ d=3$$.
в) Пусть
$$x^4-5x^2+6x-5=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Тогда
$$\begin{cases} a+c=0,\\ b+d+ac=-5,\\ ad+bc=6,\\ bd=-5. \end{cases}$$
Из $$bd=-5$$ проверяем возможные целые пары. Подходит разложение
$$x^4-5x^2+6x-5=(x^2-x+1)(x^2+x-5).$$
Следовательно, $$a=-1,\ b=1,\ c=1,\ d=-5$$.
г) Пусть
$$x^4-5x-6=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d).$$
Сравним коэффициенты:
$$\begin{cases} a+c=0,\\ b+d+ac=0,\\ ad+bc=-5,\\ bd=-6. \end{cases}$$
Подходит разложение
$$x^4-5x-6=(x^2+x+3)(x^2-x-2).$$
Значит, $$a=1,\ b=3,\ c=-1,\ d=-2$$.
Ответ: а) $$a=-1,\ b=-1,\ c=2,\ d=-1$$ или $$a=2,\ b=-1,\ c=-1,\ d=-1$$; б) $$a=-1,\ b=-1,\ c=1,\ d=3$$; в) $$a=-1,\ b=1,\ c=1,\ d=-5$$; г) $$a=1,\ b=3,\ c=-1,\ d=-2$$.
