Упр.3.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что если функция $$y=f(x)$$ выпукла вверх (вниз) на $$\mathbb{R}$$, то уравнение $$f(x)=ax+b$$ имеет не более двух корней, и решите уравнение: а) $$x^4=15x-14$$; б) $$x^{10}=1023x-1022$$.

Пусть прямая $$y=ax+b$$ пересекает график функции $$y=f(x)$$ в трёх различных точках с абсциссами $$x_1<x_2<x_3$$.

Если функция $$f(x)$$ выпукла вверх, то на отрезке $$[x_1;x_2]$$ её график лежит не ниже прямой $$y=ax+b$$, а на отрезке $$[x_2;x_3]$$ — не выше этой прямой. Но для выпуклой вверх функции это невозможно: график не может по разные стороны от одной и той же прямой на двух соседних отрезках. Получаем противоречие.

Значит, уравнение $$f(x)=ax+b$$ не может иметь более двух корней.

Ответ

а) Рассмотрим $$f(x)=x^4$$. Тогда

$$f»(x)=12x^2\ge 0,$$

следовательно, функция $$y=x^4$$ выпукла вверх. Поэтому уравнение

$$x^4=15x-14$$

имеет не более двух корней. Проверим целые значения:

$$1^4=15\cdot 1-14,$$

$$2^4=15\cdot 2-14.$$

Значит, $$x=1$$ и $$x=2$$ — корни уравнения.

Ответ: $$1; 2$$.

б) Рассмотрим $$f(x)=x^{10}$$. Тогда

$$f»(x)=90x^8\ge 0,$$

следовательно, функция $$y=x^{10}$$ выпукла вверх. Поэтому уравнение

$$x^{10}=1023x-1022$$

имеет не более двух корней. Проверим:

$$1^{10}=1023\cdot 1-1022,$$

$$2^{10}=1023\cdot 2-1022.$$

Значит, $$x=1$$ и $$x=2$$ — корни уравнения.

Ответ: $$1; 2$$.