Упр.3.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Используя свойство монотонности функции, докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень:

а) $$x^3=10-x$$;

б) $$x^5+3x^3=\sqrt[11]{2-x}$$.

Рассмотрим каждое уравнение как равенство двух функций. Если одна функция возрастает на всей числовой прямой, а другая убывает, то они могут пересечься только в одной точке, значит уравнение имеет единственный корень.

а)

$$x^3=10-x$$

Функция $$f(x)=x^3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=10-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Проверим число $$x=2$$:

$$2^3=8,\qquad 10-2=8.$$

Значит, $$x=2$$ — корень уравнения.

б)

$$x^5+3x^3=11\sqrt{2}-x$$

Функция $$f(x)=x^5+3x^3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, так как

$$f'(x)=5x^4+9x^2\ge 0.$$

Функция $$g(x)=11\sqrt{2}-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Проверим число $$x=\sqrt{2}$$:

$$f(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^5+3(\sqrt{2})^3=4\sqrt{2}+6\sqrt{2}=10\sqrt{2},$$

$$g(\sqrt{2})=11\sqrt{2}-\sqrt{2}=10\sqrt{2}.$$

Следовательно, $$x=\sqrt{2}$$ — корень уравнения.

Ответ

а) $$2$$; б) $$\sqrt{2}$$.