Упр.3.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$x^3-3x^2-x+3=0$$; б) $$x^8+11x^5-32x^3-352=0$$; в) $$5x^3-15x^2-x+3=0$$; г) $$x^3-2x^2+x=(x^2-2x+1)^2$$.
а) $$x^3-3x^2-x+3=0$$
Группируем слагаемые:
$$x^2(x-3)-1(x-3)=0$$
$$\left(x^2-1\right)(x-3)=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)(x-3)=0$$
Отсюда
$$x=-1,\; x=1,\; x=3.$$
б) $$x^8+11x^5-32x^3-352=0$$
Сгруппируем:
$$x^5(x^3+11)-32(x^3+11)=0$$
$$\left(x^5-32\right)\left(x^3+11\right)=0$$
$$x^5=32 \quad \text{или} \quad x^3=-11$$
$$x=2 \quad \text{или} \quad x=-\sqrt[3]{11}.$$
в) $$5x^3-15x^2-x+3=0$$
Группируем:
$$5x^2(x-3)-1(x-3)=0$$
$$\left(5x^2-1\right)(x-3)=0$$
$$\left(\sqrt{5}x-1\right)\left(\sqrt{5}x+1\right)(x-3)=0$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\sqrt{5}}{5},\; x=\frac{\sqrt{5}}{5},\; x=3.$$
г) $$x^3-2x^2+x=(x^2-2x+1)^2$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^3-2x^2+x-\left(x^2-2x+1\right)^2=0$$
Заметим, что $$x^3-2x^2+x=x(x-1)^2,$$ а $$x^2-2x+1=(x-1)^2.$$ Тогда
$$x(x-1)^2-(x-1)^4=0$$
$$(x-1)^2\left(x-(x-1)^2\right)=0$$
$$(x-1)^2\left(-x^2+3x-1\right)=0$$
Отсюда
$$x=1$$
или
$$x^2-3x+1=0.$$
Тогда
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=5,$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}.$$
Ответ: а) $$-1;\;1;\;3$$; б) $$-\sqrt[3]{11};\;2$$; в) $$-\frac{\sqrt{5}}{5};\;\frac{\sqrt{5}}{5};\;3$$; г) $$1;\;\frac{3-\sqrt{5}}{2};\;\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$.
