Упр.3.29 Старый учебник ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$3x^4-5x^2+2=0$$; б) $$7x^8+3x^4-10=0$$; в) $$x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3=0$$; г) $$\left(2x^2-3x+1\right)^2-5\left(2x^2-3x+1\right)\left(x^2+x+3\right)+4\left(x^2+x+3\right)^2=0$$.

а) Пусть $$x^2=t.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$3t^2-5t+2=0.$$

$$D=25-24=1,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm1}{6}.$$

Отсюда

$$t_1=1,\quad t_2=\frac23.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,$$

$$x^2=\frac23 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac23}.$$

Ответ: $$x=\pm1,\ \pm\sqrt{\frac23}.$$

б) Пусть $$x^4=t.$$ Тогда

$$7t^2+3t-10=0.$$

$$D=9+280=289=17^2,$$

$$t_{1,2}=\frac{-3\pm17}{14}.$$

Получаем

$$t_1=1,\quad t_2=-\frac{10}{7}.$$

Так как $$x^4\ge 0,$$ то значение $$t_2$$ не подходит. Значит,

$$x^4=1 \Rightarrow x=\pm1.$$

Ответ: $$x=\pm1.$$

в) Разложим на множители:

$$x^5+3x^4-3x^3-x^2-3x+3=x^3(x^2+3x-3)-1(x^2+3x-3).$$

Тогда

$$\bigl(x^2+3x-3\bigr)\bigl(x^3-1\bigr)=0.$$

Отсюда

$$x^2+3x-3=0 \quad \text{или} \quad x^3-1=0.$$

1) $$x^2+3x-3=0,$$

$$D=9+12=21,$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}.$$

2) $$x^3-1=0 \Rightarrow x=1.$$

Ответ: $$x=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2},\ 1.$$

г) Обозначим

$$a=2x^2-3x+1,\quad b=x^2+x+3.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$a^2-5ab+4b^2=0,$$

или

$$a^2-a b-4ab+4b^2=0,$$

$$a(a-b)-4b(a-b)=0,$$

$$\bigl(a-b\bigr)\bigl(a-4b\bigr)=0.$$

Следовательно,

$$a=b \quad \text{или} \quad a=4b.$$

1) $$2x^2-3x+1=x^2+x+3,$$

$$x^2-4x-2=0,$$

$$D=16+8=24,$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{24}}{2}=2\pm\sqrt6.$$

2) $$2x^2-3x+1=4(x^2+x+3),$$

$$2x^2+7x+11=0,$$

$$D=49-88=-39<0,$$

действительных корней нет.

Ответ: $$x=2\pm\sqrt6.$$