Упр.3.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что уравнение не имеет действительных корней:

а) $$x^6-x^5+2=0$$;

б) $$x^{14}-x+3=0$$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1. $$x^6-x^5+2=0$$

   Обозначим $$f(x)=x^6-x^5+2.$$ Тогда

   $$f'(x)=6x^5-5x^4=x^4(6x-5).$$

   Так как $$x^4\ge 0,$$ то знак производной определяется множителем $$6x-5.$$ Следовательно, функция убывает при $$x<\frac56$$ и возрастает при $$x>\frac56,$$ значит, в точке $$x=\frac56$$ достигается минимум.

   Найдём значение функции в этой точке:

   $$f\!\left(\frac56\right)=\left(\frac56\right)^6-\left(\frac56\right)^5+2=\left(\frac56\right)^5\left(\frac56-1\right)+2=2-\frac{5^5}{6^6}>0.$$

   Минимальное значение функции положительно, значит, $$f(x)>0$$ при всех действительных $$x.$$ Поэтому уравнение не имеет действительных корней.

2. $$x^{14}-x+3=0$$

   Обозначим $$g(x)=x^{14}-x+3.$$ Тогда

   $$g'(x)=14x^{13}-1.$$

   Рассмотрим точку, в которой производная равна нулю:

   $$14x^{13}-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt[13]{\frac1{14}}.$$

   Это точка минимума, так как при переходе через неё производная меняет знак с отрицательного на положительный.

   Вычислим значение функции в этой точке:

   $$g\!\left(\sqrt[13]{\frac1{14}}\right)=\left(\sqrt[13]{\frac1{14}}\right)^{14}-\sqrt[13]{\frac1{14}}+3.$$

   Так как $$\left(\sqrt[13]{\frac1{14}}\right)^{14}=\frac1{14}\sqrt[13]{\frac1{14}},$$ то

   $$g\!\left(\sqrt[13]{\frac1{14}}\right)=3-\frac{13}{14}\sqrt[13]{\frac1{14}}>0.$$

   Следовательно, и здесь значение функции всегда положительно, значит, действительных корней нет.

Ответ

Оба уравнения не имеют действительных корней.