Упр.3.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все значения параметров $$a$$ и $$b$$, при каждом из которых многочлен $$p(x)$$ имеет три различных целых корня: а) $$p(x)=x^3+ax^2+bx+2$$; б) $$p(x)=bx^3+ax^2+x+2$$.

Пусть целые корни многочлена $$p(x)$$ равны $$x_1, x_2, x_3$$. Тогда по теореме Виета их произведение связано со свободным членом.

а)

$$p(x)=x^3+ax^2+bx+2.$$

По Виету:

$$x_1x_2x_3=-2.$$

Так как корни целые и различны, то единственный набор целых чисел с произведением $$-2$$ и тремя различными значениями — это $$-1, 1, 2$$.

Тогда

$$p(x)=(x+1)(x-1)(x-2).$$

Раскроем скобки:

$$(x+1)(x-1)(x-2)=(x^2-1)(x-2)=x^3-2x^2-x+2.$$

Сравнивая коэффициенты, получаем:

$$a=-2,\quad b=-1.$$

б)

$$p(x)=bx^3+ax^2+x+2.$$

Пусть корни снова равны $$x_1, x_2, x_3$$. Тогда

$$bx_1x_2x_3=-2,$$

то есть

$$x_1x_2x_3=-\frac{2}{b}.$$

Так как корни целые и различны, возможны только наборы $$1,-1,2$$ или $$1,-1,-2$$.

1) Если корни $$1,-1,2$$, то

$$p(x)=b(x-1)(x+1)(x-2).$$

После раскрытия скобок коэффициент при $$x$$ не равен $$1$$, поэтому этот случай не подходит.

2) Если корни $$1,-1,-2$$, то

$$p(x)=b(x-1)(x+1)(x+2).$$

Раскроем скобки:

$$b(x-1)(x+1)(x+2)=b(x^3+2x^2-x-2).$$

Сравнивая с $$bx^3+ax^2+x+2$$, получаем:

$$b=-1,\quad a=-2.$$

Ответ

а) $$a=-2,\ b=-1$$; б) $$a=-2,\ b=-1$$.