Упр.3.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых многочлен $$p(x)$$ имеет два целых корня: а) $$p(x)=ax^2+3x+2a^2-3$$; б) $$p(x)=ax^2-5x+4a^2-10$$.

Рассмотрим многочлен как квадратный относительно $$x$$ и воспользуемся формулами Виета. Если у него два целых корня $$x_1$$ и $$x_2$$, то сумма и произведение корней должны быть целыми числами.

а)

$$p(x)=ax^2+3x+2a^2-3$$

По формулам Виета:

$$x_1+x_2=-\frac{3}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{2a^2-3}{a}=2a-\frac{3}{a}.$$

Так как $$x_1$$ и $$x_2$$ — целые числа, то и сумма, и произведение должны быть целыми. Значит, $$\frac{3}{a}$$ — целое число. Пусть

$$\frac{3}{a}=k,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$

Тогда $$a=\frac{3}{k}$$, а произведение корней равно

$$x_1x_2=2\cdot \frac{3}{k}-k=\frac{6-k^2}{k}.$$

Чтобы это число было целым, проверим делители числа $$3$$:

$$k=\pm 1,\ \pm 3.$$

При $$k=\pm 1$$ получаем $$a=\pm 3$$, но тогда

$$x_1+x_2=\mp 1,\qquad x_1x_2=\pm 3,$$

и целых корней нет.

При $$k=\pm 3$$ получаем $$a=\pm 1$$, но тогда

$$x_1+x_2=\mp 3,\qquad x_1x_2=\pm 1,$$

и целые корни существуют: $$1$$ и $$-1$$.

Проверка для $$a=-1$$:

$$p(x)=-x^2+3x-1.$$

Корни нецелые, значит этот случай не подходит.

Проверим $$a=1$$:

$$p(x)=x^2+3x-1,$$

корни также нецелые.

Остаётся случай $$a=-\frac12$$:

$$p(x)=-\frac12x^2+3x-\frac12.$$

Умножим на $$-2$$:

$$x^2-6x+1=0,$$

корни нецелые.

Следовательно, подходящее значение параметра:

б)

$$p(x)=ax^2-5x+4a^2-10$$

По формулам Виета:

$$x_1+x_2=\frac{5}{a}, \qquad x_1x_2=\frac{4a^2-10}{a}=4a-\frac{10}{a}.$$

Так как $$x_1$$ и $$x_2$$ — целые, то $$\frac{5}{a}$$ должно быть целым. Пусть

$$\frac{5}{a}=k,\qquad k\in \mathbb{Z}.$$

Тогда $$a=\frac{5}{k}$$, а произведение корней равно

$$x_1x_2=4\cdot \frac{5}{k}-2k=\frac{20-2k^2}{k}.$$

Проверим делители числа $$5$$:

$$k=\pm 1,\ \pm 5.$$

При $$k=\pm 1$$ получаем $$a=\pm 5$$, но тогда произведение не даёт целых корней.

При $$k=\pm 5$$ получаем $$a=\pm 1$$.

Проверим:

при $$a=1$$

$$p(x)=x^2-5x-6=(x-6)(x+1),$$

корни $$6$$ и $$-1$$ — целые;

при $$a=-1$$

$$p(x)=-x^2-5x-6=-(x^2+5x+6)=-(x+2)(x+3),$$

корни $$-2$$ и $$-3$$ — целые.

Ответ

а) $$a=1$$; б) $$a=1,\,-1$$.