Упр.3.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все целые значения параметра $$a$$, при каждом из которых многочлен $$p(x)$$ имеет хотя бы один целый корень; для каждого найденного значения $$a$$ определите число различных целых корней многочлена $$p(x)$$:
   а) $$p(x)=x^3-3x^2+ax-1$$;
   б) $$p(x)=x^4+ax^2-(2a+3)x-7$$.

Рассмотрим целые корни многочленов. Если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень, то он должен быть делителем свободного члена.

а)

$$p(x)=x^3-3x^2+ax-1$$

Свободный член равен $$-1$$, значит возможный целый корень только $$x=1$$ или $$x=-1$$.

1) Пусть $$x=1$$ — корень. Тогда

$$1-3+a-1=0$$

$$a=3.$$

При $$a=3$$ получаем

$$p(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3,$$

поэтому целый корень один: $$x=1$$.

2) Пусть $$x=-1$$ — корень. Тогда

$$-1-3-a-1=0$$

$$a=-5.$$

При $$a=-5$$ имеем

$$p(x)=x^3-3x^2-5x-1=(x+1)(x^2-4x-1).$$

У квадратного множителя дискриминант

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=16+4=20,$$

он не является квадратом целого числа, значит других целых корней нет.

Итак, при $$a=3$$ и $$a=-5$$ многочлен имеет хотя бы один целый корень, и в каждом из этих случаев целый корень только один.

б)

$$p(x)=x^4+ax^2-(2a+3)x-7$$

Свободный член равен $$-7$$, значит возможные целые корни: $$x=1,-1,7,-7$$.

1) Пусть $$x=1$$ — корень. Тогда

$$1+a-(2a+3)-7=0$$

$$-a-9=0$$

$$a=-9.$$

При $$a=-9$$:

$$p(x)=x^4-9x^2+15x-7=(x-1)(x^3+x^2-8x+7).$$

Проверим целые корни кубического множителя. Для $$x=\pm1,\pm7$$ получаем ненулевые значения, значит других целых корней нет. Следовательно, целый корень один: $$x=1$$.

2) Пусть $$x=-1$$ — корень. Тогда

$$1+a+(2a+3)-7=0$$

$$3a-3=0$$

$$a=1.$$

При $$a=1$$:

$$p(x)=x^4+x^2-5x-7=(x+1)(x^3-x^2+2x-7).$$

Проверка значений $$x=\pm1,\pm7$$ для кубического множителя показывает, что других целых корней нет. Значит, целый корень один: $$x=-1$$.

3) Пусть $$x=7$$ — корень. Тогда

$$2401+49a-7(2a+3)-7=0$$

$$2401+49a-14a-21=0$$

$$35a=-2380$$

$$a=-68.$$

4) Пусть $$x=-7$$ — корень. Тогда

$$2401+49a+7(2a+3)-7=0$$

$$2401+49a+14a+21=0$$

$$63a=-2422,$$

откуда $$a$$ не является целым числом.

Значит, подходят только $$a=-9$$ и $$a=1$$.

Ответ: а) $$a=3$$, $$a=-5$$; при каждом из этих значений — один целый корень. б) $$a=-9$$, $$a=1$$; при каждом из этих значений — один целый корень.