Упр.3.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) На основании того, что число $$\sqrt{2}$$ является корнем уравнения $$x^2-2=0$$, докажите, что $$\sqrt{2}$$ — иррациональное число.
   б) Проверив, что $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ является корнем уравнения $$x^4-10x^2+1=0$$, докажите, что $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ — иррациональное число.

Для уравнения с целыми коэффициентами любой рациональный корень, если он существует, должен быть целым числом.

Ход решения

а) Число $$\sqrt{2}$$ является корнем уравнения $$x^2-2=0.$$

У этого уравнения целые коэффициенты. Если бы $$\sqrt{2}$$ было рациональным числом, то оно, как рациональный корень такого уравнения, должно было бы быть целым. Но целых корней у уравнения $$x^2-2=0$$ нет, так как

$$1<2<4,$$

значит,

$$1<\sqrt{2}<2.$$

Следовательно, $$\sqrt{2}\notin \mathbb{Z},$$ а значит, $$\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$$

б) Проверим, что число $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ является корнем уравнения $$x^4-10x^2+1=0.$$

Действительно,

$$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6},$$

$$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^4=(5-2\sqrt{6})^2=25-20\sqrt{6}+24=49-20\sqrt{6}.$$

Тогда

$$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^4-10(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2+1 = (49-20\sqrt{6})-10(5-2\sqrt{6})+1=0.$$

Значит, $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ — корень уравнения $$x^4-10x^2+1=0.$$

Это уравнение с целыми коэффициентами. Если бы $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ было рациональным, то оно должно было бы быть целым. Но

$$1<2<4,\qquad 1<3<4,$$

откуда

$$1<\sqrt{2}<2,\qquad 1<\sqrt{3}<2,$$

и значит,

$$-1<\sqrt{3}-\sqrt{2}<1.$$

Следовательно, $$\sqrt{3}-\sqrt{2}\notin \mathbb{Z},$$ а значит, $$\sqrt{3}-\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$$

Ответ

$$\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$ — иррациональные числа.