Упр.3.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$16x^3-28x^2+4x+3=0$$; б) $$6x^3-13x^2+9x-2=0$$; в) $$100x^3-120x^2+47x+66=0$$; г) $$4x^3+2x^2-8x+3=0$$.

Решим каждое уравнение, выделяя рациональный корень и раскладывая многочлен на множители.

1. $$16x^3-28x^2+4x+3=0$$

   Проверим значение $$x=\frac12$$:

   $$16\cdot\left(\frac12\right)^3-28\cdot\left(\frac12\right)^2+4\cdot\frac12+3=0.$$

   Тогда

   $$16x^3-28x^2+4x+3=(2x-1)(8x^2-10x-3).$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$8x^2-10x-3=0,$$

   $$D=(-10)^2-4\cdot 8\cdot(-3)=100+96=196,$$

   $$x=\frac{10\pm 14}{16}.$$

   Получаем:

   $$x_1=\frac{24}{16}=\frac32,\quad x_2=\frac{-4}{16}=-\frac14.$$

2. $$6x^3-13x^2+9x-2=0$$

   Проверим значение $$x=1$$:

   $$6-13+9-2=0.$$

   Тогда

   $$6x^3-13x^2+9x-2=(x-1)(6x^2-7x+2).$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$6x^2-7x+2=0,$$

   $$D=(-7)^2-4\cdot 6\cdot 2=49-48=1,$$

   $$x=\frac{7\pm 1}{12}.$$

   Получаем:

   $$x_1=\frac{8}{12}=\frac23,\quad x_2=\frac{6}{12}=\frac12.$$

3. $$100x^3-120x^2+47x+66=0$$

   Проверим значение $$x=-\frac12$$:

   $$100\cdot\left(-\frac12\right)^3-120\cdot\left(-\frac12\right)^2+47\cdot\left(-\frac12\right)+66=0.$$

   Тогда

   $$100x^3-120x^2+47x+66=\left(2x+1\right)(50x^2-85x+66).$$

   Для квадратного уравнения

   $$50x^2-85x+66=0$$

   дискриминант равен

   $$D=(-85)^2-4\cdot 50\cdot 66=7225-13200=-5975<0.$$

   Действительных корней у этого множителя нет, значит единственный корень:

   $$x=-\frac12.$$

4. $$4x^3+2x^2-8x+3=0$$

   Проверим значение $$x=-\frac12$$:

   $$4\cdot\left(-\frac12\right)^3+2\cdot\left(-\frac12\right)^2-8\cdot\left(-\frac12\right)+3=0.$$

   Тогда

   $$4x^3+2x^2-8x+3=(2x+1)(2x^2-4x+3).$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$2x^2-4x+3=0,$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 2\cdot 3=16-24=-8<0.$$

   Действительных корней у него нет, значит

   $$x=-\frac12.$$

Ответ: а) $$-\frac14,\ \frac32$$; б) $$\frac12,\ \frac23,\ 1$$; в) $$-\frac12$$; г) $$-\frac12$$.