Упр.3.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$10x^3-3x^2-2x+1=0$$; б) $$4x^3-3x-1=0$$; в) $$4x^3+6x^2+4x+1=0$$; г) $$38x^3+7x^2-8x-1=0$$.
а) Сделаем замену $$y=\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$10x^3-3x^2-2x+1=0 \;\Longrightarrow\; y^3-2y^2-3y+10=0.$$
Проверим корень $$y=-2$$:
$$(-2)^3-2\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+10=-8-8+6+10=0.$$
Тогда
$$y^3-2y^2-3y+10=(y+2)(y^2-4y+5).$$
У квадратного уравнения
$$y^2-4y+5=0$$
дискриминант
$$D=16-20=-4<0,$$
поэтому действительных корней оно не имеет. Значит,
$$y=-2,\qquad \frac{1}{x}=-2,\qquad x=-\frac12.$$
б) Пусть $$y=\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$4x^3-3x-1=0 \;\Longrightarrow\; y^3+3y^2-4=0.$$
Проверим корень $$y=1$$:
$$1^3+3\cdot1^2-4=0.$$
Тогда
$$y^3+3y^2-4=(y-1)(y+2)^2.$$
Отсюда
$$y=1 \quad \text{или} \quad y=-2.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x=1,$$
$$\frac{1}{x}=-2 \Rightarrow x=-\frac12.$$
в) Пусть $$y=\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$4x^3+6x^2+4x+1=0 \;\Longrightarrow\; y^3+4y^2+6y+4=0.$$
Проверим корень $$y=-2$$:
$$(-2)^3+4\cdot(-2)^2+6\cdot(-2)+4=-8+16-12+4=0.$$
Тогда
$$y^3+4y^2+6y+4=(y+2)(y^2+2y+2).$$
Для уравнения
$$y^2+2y+2=0$$
дискриминант
$$D=4-8=-4<0,$$
значит, действительных корней нет. Следовательно,
$$\frac{1}{x}=-2,\qquad x=-\frac12.$$
г) Пусть $$y=\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$38x^3+7x^2-8x-1=0 \;\Longrightarrow\; y^3+8y^2-7y-38=0.$$
Проверим корень $$y=-2$$:
$$(-2)^3+8\cdot(-2)^2-7\cdot(-2)-38=-8+32+14-38=0.$$
Тогда
$$y^3+8y^2-7y-38=(y+2)(y^2+6y-19).$$
Решим квадратное уравнение:
$$y^2+6y-19=0,$$
$$D=36+76=112,$$
$$y=\frac{-6\pm\sqrt{112}}{2}=-3\pm2\sqrt7.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{1}{x}=-2 \Rightarrow x=-\frac12,$$
$$\frac{1}{x}=-3\pm2\sqrt7 \Rightarrow x=\frac{1}{-3\pm2\sqrt7}=\frac{3\pm2\sqrt7}{19}.$$
Ответ
а) $$-\frac12$$; б) $$-\frac12,\ 1$$; в) $$-\frac12$$; г) $$-\frac12,\ \frac{3-2\sqrt7}{19},\ \frac{3+2\sqrt7}{19}.$$
