Упр.3.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$x^3-4x^2+x+6=0$$; б) $$x^4+5x^3+4x^2-24x-24=0$$; в) $$x^3+9x^2+23x+15=0$$; г) $$(x+1)(x^2+2)+(x+2)(x^2+1)=2$$.

а) Проверим целые корни. Подходит $$x=-1$$, так как

$$(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=0.$$

Тогда раскладываем многочлен на множители:

$$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)=(x+1)(x-2)(x-3).$$

Следовательно,

$$x=-1,\;2,\;3.$$

б) Проверим корень $$x=-1$$:

$$(-1)^4+5(-1)^3+4(-1)^2-24(-1)-24=1-5+4+24-24=0.$$

Тогда

$$x^4+5x^3+4x^2-24x-24=(x+1)(x^3+4x^2-24).$$

Далее проверим $$x=2$$:

$$2^3+4\cdot 2^2-24=8+16-24=0.$$

Значит,

$$x^3+4x^2-24=(x-2)(x^2+6x+12).$$

Итак,

$$x^4+5x^3+4x^2-24x-24=(x+1)(x-2)(x^2+6x+12).$$

У квадратного трёхчлена

$$D=6^2-4\cdot 12=36-48=-12<0,$$

поэтому действительных корней он не имеет. Тогда

$$x=-1,\;2.$$

в) Проверим корень $$x=-1$$:

$$(-1)^3+9(-1)^2+23(-1)+15=-1+9-23+15=0.$$

Тогда

$$x^3+9x^2+23x+15=(x+1)(x^2+8x+15).$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2+8x+15=(x+3)(x+5).$$

Следовательно,

$$x=-1,\;-3,\;-5.$$

г) Раскроем скобки и перенесём $$2$$ в левую часть:

$$(x+1)(x^2+2)+(x+2)(x^2+1)=2$$

$$x^3+x^2+2x+2+x^3+2x^2+x+2=2$$

$$2x^3+3x^2+3x+2=2$$

$$2x^3+3x^2+3x=0$$

$$x(2x^2+3x+3)=0.$$

Отсюда либо $$x=0$$, либо

$$2x^2+3x+3=0.$$

Для квадратного уравнения

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 3=9-24=-15<0,$$

действительных корней нет. Значит,

$$x=0.$$

Ответ

а) $$-1,\;2,\;3$$; б) $$-1,\;2$$; в) $$-1,\;-3,\;-5$$; г) $$0$$.