Упр.3.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите рациональные корни уравнения:
а) $$2x^3+7x^2+5x+1=0$$;
б) $$2x^4+7x^3-3x^2-5x-1=0$$;
в) $$18x^3+9x^2-5x-2=0$$;
г) $$16x^4+16x^3-48x^2+28x-5=0$$.
а) Разделим уравнение на $$x^3$$ и введём замену $$y=\frac{1}{x}$$:
$$2+\frac{7}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0$$
$$2+7y+5y^2+y^3=0$$
$$y^3+5y^2+7y+2=0$$
Проверим целый корень: $$y=-2$$.
Тогда
$$y^3+5y^2+7y+2=(y+2)(y^2+3y+1)=0$$
Из квадратного уравнения рациональных корней нет, значит
$$y=-2$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{1}{x}=-2,\quad x=-\frac{1}{2}$$
б) Разделим уравнение на $$x^4$$ и введём замену $$y=\frac{1}{x}$$:
$$2+\frac{7}{x}-\frac{3}{x^2}-\frac{5}{x^3}-\frac{1}{x^4}=0$$
$$2+7y-3y^2-5y^3-y^4=0$$
$$y^4+5y^3+3y^2-7y-2=0$$
Проверим корень $$y=1$$:
$$1+5+3-7-2=0$$
Тогда
$$y^4+5y^3+3y^2-7y-2=(y-1)(y+2)(y^2+4y+1)=0$$
Из квадратного уравнения рациональных корней нет, поэтому рациональные корни:
$$y=1,\quad y=-2$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{1}{x}=1 \Rightarrow x=1$$
$$\frac{1}{x}=-2 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$
в) Разделим уравнение на $$x^3$$ и введём замену $$y=\frac{1}{x}$$:
$$18+\frac{9}{x}-\frac{5}{x^2}-\frac{2}{x^3}=0$$
$$18+9y-5y^2-2y^3=0$$
$$2y^3+5y^2-9y-18=0$$
Проверим корень $$y=3$$:
$$2\cdot 27+5\cdot 9-9\cdot 3-18=0$$
Тогда
$$2y^3+5y^2-9y-18=(y-3)(2y^2+11y+6)=0$$
Из квадратного уравнения рациональные корни:
$$2y^2+11y+6=(2y+3)(y+2)$$
Значит,
$$y=3,\quad y=-\frac{3}{2},\quad y=-2$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{1}{x}=3 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$$
$$\frac{1}{x}=-\frac{3}{2} \Rightarrow x=-\frac{2}{3}$$
$$\frac{1}{x}=-2 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$
г) Разделим уравнение на $$16$$ и введём замену $$y=2x$$:
$$y^4+y^3-3y^2+\frac{7}{4}y-\frac{5}{16}=0$$
Умножим на $$16$$:
$$16y^4+16y^3-48y^2+28y-5=0$$
Проверим корень $$y=1$$:
$$16+16-48+28-5=7\neq 0$$
Проверим корень $$y=\frac{1}{2}$$ в исходном уравнении после замены:
$$\left(2x\right)^4+\left(2x\right)^3-3\left(2x\right)^2+\frac{7}{4}(2x)-\frac{5}{16}=0$$
Рациональные корни удобно искать по теореме о рациональных корнях для многочлена
$$16y^4+16y^3-48y^2+28y-5=0$$
Подбором получаем разложение:
$$16y^4+16y^3-48y^2+28y-5=(y-1)^3(16y+5)$$
Тогда
$$y=1,\quad y=-\frac{5}{16}$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$2x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$$
$$2x=-\frac{5}{16} \Rightarrow x=-\frac{5}{32}$$
Ответ
а) $$-\frac{1}{2}$$; б) $$-\frac{1}{2},\ 1$$; в) $$-\frac{1}{2},\ -\frac{2}{3},\ \frac{1}{3}$$; г) $$\frac{1}{2},\ -\frac{5}{32}$$.
