Упр.3.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$(x+2)^4+x^4=8^2$$; б) $$(5x-3)^4+(5x-1)^4=8^2$$; в) $$(x+3)^4+(x-1)^4=3^2$$; г) $$(5x+3)^4+(5x-1)^4=3^2$$.
а) Введём новую переменную $$y=x+1.$$ Тогда
$$(y+1)^4+(y-1)^4=82$$
Раскроем скобки:
$$y^4+4y^3+6y^2+4y+1+y^4-4y^3+6y^2-4y+1=82$$
$$2y^4+12y^2+2=82$$
$$y^4+6y^2-40=0$$
Положим $$t=y^2$$. Тогда
$$t^2+6t-40=0$$
$$D=36+160=196$$
$$t_1=\frac{-6-14}{2}=-10,\qquad t_2=\frac{-6+14}{2}=4$$
Так как $$t=y^2\ge 0,$$ получаем $$y^2=4,$$ значит, $$y=\pm 2.$$ Тогда
$$x=y-1$$
$$x_1=-2-1=-3,\qquad x_2=2-1=1$$
б) Введём новую переменную $$y=5x-2.$$ Тогда
$$(y-1)^4+(y+1)^4=82$$
Аналогично получаем:
$$2y^4+12y^2+2=82$$
$$y^4+6y^2-40=0$$
Положим $$t=y^2$$. Тогда
$$t^2+6t-40=0,\qquad D=196$$
$$t_1=-10,\qquad t_2=4$$
Следовательно, $$y^2=4,$$ то есть $$y=\pm 2.$$ Тогда
$$5x-2=2 \Rightarrow x=\frac45=0{,}8$$
$$5x-2=-2 \Rightarrow x=0$$
в) Введём новую переменную $$y=x+1.$$ Тогда
$$(y+2)^4+(y-2)^4=32$$
Раскроем скобки:
$$y^4+8y^3+24y^2+32y+16+y^4-8y^3+24y^2-32y+16=32$$
$$2y^4+48y^2+32=32$$
$$2y^4+48y^2=0$$
$$2y^2(y^2+24)=0$$
Отсюда $$y=0,$$ значит,
$$x=-1$$
г) Введём новую переменную $$y=5x+1.$$ Тогда
$$(y+2)^4+(y-2)^4=32$$
Получаем то же уравнение:
$$2y^4+48y^2=0$$
$$2y^2(y^2+24)=0$$
Следовательно, $$y=0,$$ а значит,
$$5x+1=0 \Rightarrow x=-\frac15=-0{,}2$$
Ответ
а) $$-3;\ 1$$; б) $$0;\ 0{,}8$$; в) $$-1$$; г) $$-0{,}2$$.
