Упр.3.2 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\left(2x-1\right)^4-x^2=0$$; б) $$x^4-4x^3+4x^2=(7x+1)^2$$; в) $$\left(8x+3\right)^2-x^4=8x^2+16$$; г) $$x^4-x^2+2x=1$$.
а) $$\left(2x-1\right)^4-x^2=0$$
Представим разность квадратов:
$$\left(\left(2x-1\right)^2-x\right)\left(\left(2x-1\right)^2+x\right)=0$$
$$\left(4x^2-4x+1-x\right)\left(4x^2-4x+1+x\right)=0$$
$$\left(4x^2-5x+1\right)\left(4x^2-3x+1\right)=0$$
Решаем первое уравнение:
$$4x^2-5x+1=0$$
$$D=25-16=9$$
$$x=\frac{5\pm 3}{8}$$
$$x_1=\frac14,\quad x_2=1$$
Решаем второе уравнение:
$$4x^2-3x+1=0$$
$$D=9-16=-7<0$$
Корней нет.
Ответ: $$\frac14;\ 1$$
б) $$x^4-4x^3+4x^2=(7x+1)^2$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$x^2\left(x^2-4x+4\right)-(7x+1)^2=0$$
$$x^2(x-2)^2-(7x+1)^2=0$$
Разность квадратов:
$$\left(x(x-2)-(7x+1)\right)\left(x(x-2)+(7x+1)\right)=0$$
$$\left(x^2-2x-7x-1\right)\left(x^2-2x+7x+1\right)=0$$
$$\left(x^2-9x-1\right)\left(x^2+5x+1\right)=0$$
Решаем первое уравнение:
$$x^2-9x-1=0$$
$$D=81+4=85$$
$$x=\frac{9\pm \sqrt{85}}{2}$$
Решаем второе уравнение:
$$x^2+5x+1=0$$
$$D=25-4=21$$
$$x=\frac{-5\pm \sqrt{21}}{2}$$
Ответ: $$\frac{9\pm \sqrt{85}}{2};\ \frac{-5\pm \sqrt{21}}{2}$$
в) $$\left(8x+3\right)^2-x^4=8x^2+16$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\left(8x+3\right)^2-\left(x^4+8x^2+16\right)=0$$
$$\left(8x+3\right)^2-\left(x^2+4\right)^2=0$$
Разность квадратов:
$$\left(8x+3-\left(x^2+4\right)\right)\left(8x+3+\left(x^2+4\right)\right)=0$$
$$\left(-x^2+8x-1\right)\left(x^2+8x+7\right)=0$$
Или:
$$\left(x^2-8x+1\right)\left(x^2+8x+7\right)=0$$
Решаем первое уравнение:
$$x^2-8x+1=0$$
$$D=64-4=60$$
$$x=\frac{8\pm \sqrt{60}}{2}=4\pm \sqrt{15}$$
Решаем второе уравнение:
$$x^2+8x+7=0$$
$$D=64-28=36$$
$$x=\frac{-8\pm 6}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=-7$$
Ответ: $$-7;\ -1;\ 4-\sqrt{15};\ 4+\sqrt{15}$$
г) $$x^4-x^2+2x=1$$
Перенесём единицу в левую часть:
$$x^4-x^2+2x-1=0$$
Сгруппируем:
$$x^4-\left(x^2-2x+1\right)=0$$
$$x^4-\left(x-1\right)^2=0$$
Разность квадратов:
$$\left(x^2-\left(x-1\right)\right)\left(x^2+\left(x-1\right)\right)=0$$
$$\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x-1\right)=0$$
Решаем первое уравнение:
$$x^2-x+1=0$$
$$D=1-4=-3<0$$
Корней нет.
Решаем второе уравнение:
$$x^2+x-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$x=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}$$
Ответ: $$\frac{-1-\sqrt5}{2};\ \frac{-1+\sqrt5}{2}$$
