Упр.3.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$2y^4-y^2(y-2)-3(y-2)^2=0$$; б) $$(x^2+6x-9)^2+x(x^2+4x-9)=0$$; в) $$(t^2+2t)^2-(t+2)(2t^2-t)=6(2t-1)^2$$; г) $$(z^2-z)(z^2-5z+6)=15z^2-45z+90$$.
а) Обозначим $$u=y^2,\quad v=y-2.$$ Тогда исходное уравнение примет вид
$$2u^2-uv-3v^2=0.$$
Разложим на множители:
$$2u^2+2uv-3uv-3v^2=0,$$
$$2u(u+v)-3v(u+v)=0,$$
$$\left(2u-3v\right)(u+v)=0.$$
Отсюда:
$$2u=3v \quad \text{или} \quad u=-v.$$
1) $$2y^2=3(y-2),$$
$$2y^2-3y+6=0.$$
$$D=9-48=-39<0,$$
значит, действительных корней нет.
2) $$y^2=-(y-2),$$
$$y^2+y-2=0,$$
$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0.$$
Следовательно, $$y=-2$$ или $$y=1.$$
Ответ: $$-2;\ 1.$$
б) Обозначим $$u=x^2+5x-9.$$ Тогда
$$\left(x^2+6x-9\right)^2+x\left(x^2+4x-9\right)=0$$
перепишем как
$$\left(u+x\right)^2+x(u-x)=0.$$
Раскроем скобки:
$$u^2+2ux+x^2+xu-x^2=0,$$
$$u^2+3ux=0,$$
$$u(u+3x)=0.$$
Значит, либо
$$x^2+5x-9=0,$$
либо
$$x^2+5x-9=-3x.$$
1) $$x^2+5x-9=0,$$
$$D=25+36=61,$$
$$x=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}.$$
2) $$x^2+8x-9=0,$$
$$D=64+36=100,$$
$$x=\frac{-8\pm10}{2},$$
откуда $$x=-9$$ или $$x=1.$$
Ответ: $$-9;\ 1;\ \frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}.$$
в) Обозначим $$u=t^2+2t,\quad v=2t-1.$$ Тогда
$$\left(t^2+2t\right)^2-\left(t+2\right)\left(2t^2-t\right)=6\left(2t-1\right)^2$$
приводится к виду
$$u^2-uv-6v^2=0.$$
Разложим на множители:
$$u^2+2uv-3uv-6v^2=0,$$
$$u(u+2v)-3v(u+2v)=0,$$
$$\left(u-3v\right)\left(u+2v\right)=0.$$
Отсюда:
$$u=3v \quad \text{или} \quad u=-2v.$$
1) $$t^2+2t=3(2t-1),$$
$$t^2-4t+3=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0,$$
значит, $$t=1$$ или $$t=3.$$
2) $$t^2+2t=-2(2t-1),$$
$$t^2+6t-2=0,$$
$$D=36+8=44,$$
$$t=\frac{-6\pm\sqrt{44}}{2}=-3\pm\sqrt{11}.$$
Ответ: $$1;\ 3;\ -3\pm\sqrt{11}.$$
г) Обозначим $$u=z^2-z.$$ Тогда
$$\left(z^2-z\right)\left(z^2-5z+6\right)=15z^2-45z+90$$
приводится к уравнению
$$\left(z^2-6z+6\right)^2-z\left(z^2-4z+6\right)=0.$$
Положим $$y=z^2-5z+6.$$ Тогда
$$\left(y-z\right)^2-z(y+z)=0,$$
$$y^2-2yz+z^2-zy-z^2=0,$$
$$y^2-3yz=0,$$
$$y(y-3z)=0.$$
Следовательно, либо
$$z^2-5z+6=0,$$
либо
$$z^2-5z+6=3z.$$
1) $$z^2-5z+6=0,$$
$$\left(z-2\right)\left(z-3\right)=0,$$
откуда $$z=2$$ или $$z=3.$$
2) $$z^2-8z+6=0,$$
$$D=64-24=40,$$
$$z=\frac{8\pm\sqrt{40}}{2}=4\pm\sqrt{10}.$$
Ответ: $$2;\ 3;\ 4\pm\sqrt{10}.$$
