Упр.3.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$(2x + 3)^2 — 3(2x + 3)(7x — 5) + 2(7x — 5)^2 = 0;$$
б) $$(3x — 2)^2 — 3(3x — 2)(7 — 5x) + 2(5x — 7)^2 = 0;$$
в) $$(x^2 — x + 3)^2 — 3(x^2 — x + 3)(10x — 1) + 2(10x — 1)^2 = 0;$$
г) $$(2x^2 — x — 6)^2 — 3(2x^2 — x — 6)(x^2 + 10x — 6) + 2(x^2 + 10x — 6)^2 = 0.$$
Пусть $$u^2-3uv+2v^2=0.$$ Тогда
$$u^2-uv-2uv+2v^2=0$$
$$u(u-v)-2v(u-v)=0$$
$$(u-2v)(u-v)=0.$$
Значит, $$u=2v$$ или $$u=v.$$
а)
Пусть $$u=2x+3,$$ $$v=7x-5.$$ Тогда
$$u=2v \quad \text{или} \quad u=v.$$
1) $$2x+3=2(7x-5),$$
$$2x+3=14x-10,$$
$$12x=13,$$
$$x=\frac{13}{12}.$$
2) $$2x+3=7x-5,$$
$$5x=8,$$
$$x=\frac{8}{5}.$$
б)
Пусть $$u=3x-2,$$ $$v=7-5x.$$ Тогда
$$u=2v \quad \text{или} \quad u=v.$$
1) $$3x-2=2(7-5x),$$
$$3x-2=14-10x,$$
$$13x=16,$$
$$x=\frac{16}{13}.$$
2) $$3x-2=7-5x,$$
$$8x=9,$$
$$x=\frac{9}{8}.$$
в)
Пусть $$u=x^2-x+3,$$ $$v=10x-1.$$ Тогда
$$u=2v \quad \text{или} \quad u=v.$$
1) $$x^2-x+3=2(10x-1),$$
$$x^2-21x+5=0,$$
$$D=21^2-4\cdot 5=441-20=421,$$
$$x=\frac{21\pm\sqrt{421}}{2}.$$
2) $$x^2-x+3=10x-1,$$
$$x^2-11x+4=0,$$
$$D=11^2-4\cdot 4=121-16=105,$$
$$x=\frac{11\pm\sqrt{105}}{2}.$$
г)
Пусть $$u=2x^2-x-6,$$ $$v=x^2+10x-6.$$ Тогда
$$u=2v \quad \text{или} \quad u=v.$$
1) $$2x^2-x-6=2(x^2+10x-6),$$
$$2x^2-x-6=2x^2+20x-12,$$
$$21x=6,$$
$$x=\frac{2}{7}.$$
2) $$2x^2-x-6=x^2+10x-6,$$
$$x^2-11x=0,$$
$$x(x-11)=0,$$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=11.$$
Ответ: а) $$\frac{13}{12},\ \frac{8}{5}$$; б) $$\frac{16}{13},\ \frac{9}{8}$$; в) $$\frac{21\pm\sqrt{421}}{2},\ \frac{11\pm\sqrt{105}}{2}$$; г) $$0,\ 11,\ \frac{2}{7}$$.
