Упр.3.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$(x^2-7x+13)^2-(x-3)(x-4)=1$$;
б) $$(x^2-2x-1)^2+3(x-1)^2=16$$;
в) $$(x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=63$$;
г) $$(x^2-2x-8)(x^2-8x+7)=63$$.
а) Обозначим $$t=x^2-7x.$$ Тогда
$$(t+13)^2-(t+12)=1$$
$$t^2+26t+169-t-12-1=0$$
$$t^2+25t+156=0$$
$$D=25^2-4\cdot156=625-624=1$$
$$t_{1,2}=\frac{-25\pm1}{2}$$
$$t_1=-12,\quad t_2=-13$$
Если $$t=-12,$$ то
$$x^2-7x+12=0$$
$$(x-3)(x-4)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=4$$
Если $$t=-13,$$ то
$$x^2-7x+13=0$$
$$D=49-52=-3<0$$
Действительных корней нет.
Ответ: $$3,\ 4.$$
б) Обозначим $$t=x^2-2x.$$ Тогда
$$(t-1)^2+3(t+1)=16$$
$$t^2-2t+1+3t+3-16=0$$
$$t^2+t-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm7}{2}$$
$$t_1=-4,\quad t_2=3$$
Если $$t=-4,$$ то
$$x^2-2x+4=0$$
$$D=4-16=-12<0$$
Действительных корней нет.
Если $$t=3,$$ то
$$x^2-2x-3=0$$
$$(x-3)(x+1)=0$$
$$x=3 \text{ или } x=-1$$
Ответ: $$-1,\ 3.$$
в) Сгруппируем множители:
$$(x-2)(x+1)(x+4)(x+7)=63$$
$$(x^2-x-2)(x^2+11x+28)=63$$
Удобно сделать замену $$t=x^2+5x.$$ Тогда
$$(x^2+5x-14)(x^2+5x+4)=63$$
$$(t-14)(t+4)=63$$
$$t^2-10t-56=63$$
$$t^2-10t-119=0$$
$$D=100+476=576$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm24}{2}$$
$$t_1=17,\quad t_2=-7$$
Если $$t=-7,$$ то
$$x^2+5x+7=0$$
$$D=25-28=-3<0$$
Действительных корней нет.
Если $$t=17,$$ то
$$x^2+5x-17=0$$
$$D=25+68=93$$
$$x=\frac{-5\pm\sqrt{93}}{2}$$
Ответ: $$\frac{-5\pm\sqrt{93}}{2}.$$
г) Преобразуем выражение:
$$(x^2-2x-8)(x^2-8x+7)=63$$
$$(x-4)(x+2)(x-1)(x-7)=63$$
$$(x^2-2x-8)(x^2-8x+7)=63$$
Сделаем замену $$t=x^2-5x.$$ Тогда
$$(x^2-5x+4)(x^2-5x-14)=63$$
$$(t+4)(t-14)=63$$
$$t^2-10t-56=63$$
$$t^2-10t-119=0$$
$$D=576$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm24}{2}$$
$$t_1=17,\quad t_2=-7$$
Если $$t=-7,$$ то
$$x^2-5x+7=0$$
$$D=25-28=-3<0$$
Действительных корней нет.
Если $$t=17,$$ то
$$x^2-5x-17=0$$
$$D=25+68=93$$
$$x=\frac{5\pm\sqrt{93}}{2}$$
Ответ: $$\frac{5\pm\sqrt{93}}{2}.$$
