Упр.3.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$4(x^2-x)^2+9x^2=9x-2$$;

б) $$(2x^2-x+1)^2-4x^2=1-2x$$.

а) Пусть $$t=x^2-x.$$ Тогда уравнение примет вид

$$4t^2+9t+2=0.$$

Найдём корни:

$$D=9^2-4\cdot 4\cdot 2=81-32=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{-9\pm 7}{8}.$$

Получаем:

$$t_1=-2,\qquad t_2=-\frac14.$$

1) Если $$x^2-x=-2,$$ то

$$x^2-x+2=0,$$

$$D=1-8=-7<0,$$

действительных корней нет.

2) Если $$x^2-x=-\frac14,$$ то

$$x^2-x+\frac14=0,$$

$$\left(x-\frac12\right)^2=0,$$

$$x=\frac12.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$\left(2x^2-x+1\right)^2-4x^2=1-2x,$$

$$\left(2x^2-x+1\right)^2-2\left(2x^2-x+1\right)+1=0,$$

$$\left(\left(2x^2-x+1\right)-1\right)^2=0,$$

$$\left(2x^2-x\right)^2=0.$$

Значит,

$$2x^2-x=0,$$

$$x(2x-1)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac12.$$

Ответ

а) $$x=\frac12.$$ б) $$x=0,\ \frac12.$$