Упр.3.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Пусть $$x^2+5x+4=17$$. Вычислите $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$$.
   б) Решите уравнение $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=360$$.

а) Из условия $$x^2+5x+4=17$$ получаем

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6).$$

Так как $$x^2+5x+6=(x^2+5x+4)+2,$$ то

$$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=17\cdot(17+2)=17\cdot 19=323.$$

б) Обозначим $$t=x^2+5x+4.$$ Тогда

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=t(t+2).$$

По условию

$$t(t+2)=360,$$

откуда

$$t^2+2t-360=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-360)=4+1440=1444,$$

$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 38}{2}.$$

Получаем

$$t_1=18,\qquad t_2=-20.$$

1) Если $$t=-20,$$ то

$$x^2+5x+4=-20 \;\Rightarrow\; x^2+5x+24=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 24=25-96=-71<0,$$

значит, действительных корней нет.

2) Если $$t=18,$$ то

$$x^2+5x+4=18 \;\Rightarrow\; x^2+5x-14=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{2}.$$

Следовательно,

$$x_1=-7,\qquad x_2=2.$$

Ответ: а) $$323$$; б) $$-7,\ 2$$.