Упр.3.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$x^4-x^3-4x^2-x+1=0$$; б) $$9x^4-9x^3+10x^2-3x+1=0$$; в) $$2x^4-7x^3+10x^2-7x+2=0$$; г) $$25x^4-50x^3+14x^2+10x+1=0$$.
а) $$x^4-x^3-4x^2-x+1=0.$$
Разделим уравнение на $$x^2$$:
$$x^2-x-4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0.$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)-6=0,$$
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)-6=0.$$
Пусть $$t=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$t^2-t-6=0,$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_1=\frac{1-5}{2}=-2,\qquad t_2=\frac{1+5}{2}=3.$$
1) Если $$x+\frac{1}{x}=-2,$$ то
$$x^2+1=-2x,$$
$$x^2+2x+1=0,$$
$$\left(x+1\right)^2=0,$$
$$x=-1.$$
2) Если $$x+\frac{1}{x}=3,$$ то
$$x^2+1=3x,$$
$$x^2-3x+1=0,$$
$$D=9-4=5,$$
$$x=\frac{3\pm \sqrt5}{2}.$$
Итак, $$x=-1,\ \frac{3-\sqrt5}{2},\ \frac{3+\sqrt5}{2}.$$
б) $$9x^4-9x^3+10x^2-3x+1=0.$$
Разделим на $$x^2$$:
$$9x^2-9x+10-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=0.$$
Преобразуем:
$$\left(9x^2+2\cdot 3x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-3\left(3x+\frac{1}{x}\right)+4=0,$$
$$\left(3x+\frac{1}{x}\right)^2-3\left(3x+\frac{1}{x}\right)+4=0.$$
Пусть $$t=3x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$t^2-3t+4=0.$$
$$D=9-16=-7<0,$$
значит, действительных корней нет.
в) $$2x^4-7x^3+10x^2-7x+2=0.$$
Разделим на $$x^2$$:
$$2x^2-7x+10-\frac{7}{x}+\frac{2}{x^2}=0.$$
Преобразуем:
$$2\left(x^2+2x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0,$$
$$2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+6=0.$$
Пусть $$t=x+\frac{1}{x}$$, тогда
$$2t^2-7t+6=0,$$
$$D=49-48=1,$$
$$t_1=\frac{7-1}{4}=\frac{3}{2},\qquad t_2=\frac{7+1}{4}=2.$$
1) Если $$x+\frac{1}{x}=\frac{3}{2},$$ то
$$2x^2-3x+2=0,$$
$$D=9-16=-7<0,$$
действительных корней нет.
2) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то
$$x^2+1=2x,$$
$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
$$x=1.$$
Итак, $$x=1.$$
г) $$25x^4-50x^3+14x^2+10x+1=0.$$
Разделим на $$x^2$$:
$$25x^2-50x+14+\frac{10}{x}+\frac{1}{x^2}=0.$$
Преобразуем:
$$\left(25x^2-10x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-10\left(5x-\frac{1}{x}\right)+24=0,$$
$$\left(5x-\frac{1}{x}\right)^2-10\left(5x-\frac{1}{x}\right)+24=0.$$
Пусть $$t=5x-\frac{1}{x}$$, тогда
$$t^2-10t+24=0,$$
$$D=100-96=4,$$
$$t_1=\frac{10-2}{2}=4,\qquad t_2=\frac{10+2}{2}=6.$$
1) Если $$5x-\frac{1}{x}=4,$$ то
$$5x^2-4x-1=0,$$
$$D=16+20=36,$$
$$x_1=\frac{4-6}{10}=-\frac{1}{5},\qquad x_2=\frac{4+6}{10}=1.$$
2) Если $$5x-\frac{1}{x}=6,$$ то
$$5x^2-6x-1=0,$$
$$D=36+20=56,$$
$$x=\frac{6\pm \sqrt{56}}{10}=\frac{3\pm \sqrt{14}}{5}.$$
Итак, $$x=-\frac{1}{5},\ 1,\ \frac{3-\sqrt{14}}{5},\ \frac{3+\sqrt{14}}{5}.$$
