Упр.3.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
$$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^2+3x-\frac{2}{x}-2=0$$
а) Введём замену $$t=3x-\frac{2}{x}.$$ Тогда получаем квадратное уравнение
$$t^2+t-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad t_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$
1) Если $$3x-\frac{2}{x}=-2,$$ то
$$3x^2+2x-2=0,$$
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-2)=4+24=28,$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt7}{3}.$$
2) Если $$3x-\frac{2}{x}=1,$$ то
$$3x^2-x-2=0,$$
$$D=1+24=25,$$
$$x=\frac{1\pm 5}{6},\qquad x_1=-\frac23,\; x_2=1.$$
Итак,
$$x=-\frac23,\;1,\;\frac{-1-\sqrt7}{3},\;\frac{-1+\sqrt7}{3}.$$
б) Введём замену $$t=3x-\frac{2}{x}.$$ Тогда
$$9x^2+\frac{4}{x^2}+3x-\frac{2}{x}-14=0$$
можно записать так:
$$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^2+\left(3x-\frac{2}{x}\right)-2=0,$$
то есть снова получаем
$$t^2+t-2=0.$$
Следовательно, $$t=-2$$ или $$t=1.$$
Далее решаем те же два уравнения:
$$3x-\frac{2}{x}=-2 \Rightarrow x=-\frac23,\;\frac{-1\pm\sqrt7}{3},$$
$$3x-\frac{2}{x}=1 \Rightarrow x=1.$$
Значит,
$$x=-\frac23,\;1,\;\frac{-1-\sqrt7}{3},\;\frac{-1+\sqrt7}{3}.$$
в) Введём замену $$t=3x-\frac{2}{x}.$$ Тогда
$$9x^4+3x^3-14x^2-2x+4=0$$
преобразуется к виду
$$\left(3x-\frac{2}{x}\right)^2+\left(3x-\frac{2}{x}\right)-2=0,$$
то есть
$$t^2+t-2=0.$$
Отсюда $$t=-2$$ или $$t=1.$$
Решая уравнения
$$3x-\frac{2}{x}=-2 \quad \text{и} \quad 3x-\frac{2}{x}=1,$$
получаем
$$x=-\frac23,\;1,\;\frac{-1-\sqrt7}{3},\;\frac{-1+\sqrt7}{3}.$$
г) Введём замену $$t=3x-\frac{2}{x}.$$ Тогда
$$9x^4-3x^3-14x^2+2x+4=0$$
сводится к уравнению
$$t^2-t-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
1) Если $$3x-\frac{2}{x}=-1,$$ то
$$3x^2+x-2=0,$$
$$D=1+24=25,$$
$$x=\frac{-1\pm 5}{6},\qquad x=-1,\;\frac23.$$
2) Если $$3x-\frac{2}{x}=2,$$ то
$$3x^2-2x-2=0,$$
$$D=4+24=28,$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{28}}{6}=\frac{1\pm\sqrt7}{3}.$$
Итак,
$$x=-1,\;\frac23,\;\frac{1-\sqrt7}{3},\;\frac{1+\sqrt7}{3}.$$
Ответ
а) $$-\frac23,\;1,\;\frac{-1-\sqrt7}{3},\;\frac{-1+\sqrt7}{3}$$; б) $$-\frac23,\;1,\;\frac{-1-\sqrt7}{3},\;\frac{-1+\sqrt7}{3}$$; в) $$-\frac23,\;1,\;\frac{-1-\sqrt7}{3},\;\frac{-1+\sqrt7}{3}$$; г) $$-1,\;\frac23,\;\frac{1-\sqrt7}{3},\;\frac{1+\sqrt7}{3}$$.
