Упр.3.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(2x+\frac{1}{x}\right)+2x+\frac{1}{x}-12=0$$; б) $$\left(2x-\frac{1}{x}\right)^2+2x+\frac{1}{x}-4=0$$

Положим $$t=2x+\frac{1}{x}.$$ Тогда оба уравнения сводятся к квадратному относительно $$t$$.

а)

$$\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+2x+\frac{1}{x}-12=0$$

Получаем:

$$t^2+t-12=0$$

$$D=1+48=49,$$

$$t_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad t_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$

1) Если $$2x+\frac{1}{x}=-4,$$ то

$$2x^2+1=-4x,$$

$$2x^2+4x+1=0.$$

$$D=16-8=8,$$

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{2}}{2}.$$

2) Если $$2x+\frac{1}{x}=3,$$ то

$$2x^2+1=3x,$$

$$2x^2-3x+1=0.$$

$$D=9-8=1,$$

$$x_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

б)

$$\left(2x-\frac{1}{x}\right)^2+2x+\frac{1}{x}-4=0$$

Раскроем квадрат:

$$4x^2-4+\frac{1}{x^2}+2x+\frac{1}{x}-4=0.$$

После приведения к виду через $$t=2x+\frac{1}{x}$$ получаем:

$$t^2+t-12=0,$$

откуда снова

$$t_1=-4,\qquad t_2=3.$$

Далее решаем те же два уравнения:

$$2x+\frac{1}{x}=-4 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{-2\pm\sqrt{2}}{2},$$

$$2x+\frac{1}{x}=3 \quad \Rightarrow \quad x=\frac12,\;1.$$

Ответ: а) $$\frac12,\;1,\;\frac{-2\pm\sqrt2}{2}$$; б) $$\frac12,\;1,\;\frac{-2\pm\sqrt2}{2}$$.