Упр.3.11 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
а) $$2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+x+\frac{1}{x}-10=0$$;
б) $$2\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+x+\frac{1}{x}-2=0$$;
в) $$2x^2+\frac{2}{x^2}+x+\frac{1}{x}-6=0$$;
г) $$2x^4+x^3-6x^2+x+2=0$$.
а) Обозначим $$t=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$2t^2+t-10=0.$$
Найдём корни:
$$D=1+80=81,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{4},$$
откуда $$t_1=2,\quad t_2=-\frac{5}{2}.$$
1) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то
$$x^2-2x+1=0,$$
$$\left(x-1\right)^2=0,$$
$$x=1.$$
2) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2},$$ то
$$2x^2+5x+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{4},$$
откуда $$x_1=-2,\quad x_2=-\frac{1}{2}.$$
Итак, $$x=-2,\,-\frac{1}{2},\,1.$$
б) Пусть $$t=x-\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$2t^2+t-10=0.$$
Как и в пункте а), получаем
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac{5}{2}.$$
1) Если $$x-\frac{1}{x}=2,$$ то
$$x^2-2x-1=0,$$
$$x=1\pm \sqrt{2}.$$
2) Если $$x-\frac{1}{x}=-\frac{5}{2},$$ то
$$2x^2+5x-2=0,$$
$$D=25+16=41,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{41}}{4}.$$
Следовательно,
$$x=1\pm \sqrt{2},\quad x=\frac{-5\pm \sqrt{41}}{4}.$$
в) Обозначим $$t=x+\frac{1}{x}.$$ Тогда
$$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+x+\frac{1}{x}-6=0.$$
Так как
$$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=t^2-2,$$
получаем
$$2(t^2-2)+t-6=0,$$
$$2t^2+t-10=0.$$
Отсюда снова
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac{5}{2}.$$
1) Если $$x+\frac{1}{x}=2,$$ то $$x=1.$$
2) Если $$x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2},$$ то
$$2x^2+5x+2=0,$$
$$x=-2,\,-\frac{1}{2}.$$
Итак, $$x=-2,\,-\frac{1}{2},\,1.$$
г) Разложим левую часть на множители:
$$2x^4+x^3-6x^2+x+2=(x^2+x-1)(2x^2-x-2).$$
Тогда
$$x^2+x-1=0 \quad \text{или} \quad 2x^2-x-2=0.$$
1) Для $$x^2+x-1=0$$ имеем
$$D=1+4=5,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}.$$
2) Для $$2x^2-x-2=0$$ имеем
$$D=1+16=17,$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}.$$
Следовательно,
$$x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2},\quad x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{4}.$$
Ответ
а) $$-2,\,-\frac{1}{2},\,1$$; б) $$1\pm \sqrt{2},\ \frac{-5\pm \sqrt{41}}{4}$$; в) $$-2,\,-\frac{1}{2},\,1$$; г) $$\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2},\ \frac{1\pm \sqrt{17}}{4}$$.
