Упр.3.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$x^3+\frac{1}{x^3}$$, если: а) $$x+\frac{1}{x}=-3$$; б) $$x+\frac{1}{x}=t$$.

Пусть $$x+\frac{1}{x}=a.$$ Тогда

$$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=a^2-2.$$

Теперь используем формулу

$$x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-\;x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right).$$

Тогда

$$x^3+\frac{1}{x^3}=a\bigl((a^2-2)-1\bigr)=a(a^2-3)=a^3-3a.$$

а) При $$a=-3$$ получаем

$$x^3+\frac{1}{x^3}=(-3)^3-3(-3)=-27+9=-18.$$

б) При $$a=t$$ имеем

$$x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t.$$

Ответ

а) $$-18$$; б) $$t^3-3t$$.