Упр.3.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$x^3-3x^2-4x=0$$; б) $$x^4+11x^3-x^2=0$$; в) $$3x^3-8x^2+14x=0$$; г) $$(2x-3)^3-(2x-3)^2=12x-18$$.

а) $$x^3-3x^2-4x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$x(x^2-3x-4)=0$$

Тогда либо $$x=0$$, либо

$$x^2-3x-4=0$$

$$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=4$$

Ответ: $$-1;\ 0;\ 4.$$

б) $$x^4+11x^3-x^2=0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(x^2+11x-1)=0$$

Отсюда $$x=0$$ или

$$x^2+11x-1=0$$

$$D=11^2-4\cdot 1\cdot(-1)=121+4=125$$

$$x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{125}}{2}=\frac{-11\pm 5\sqrt5}{2}$$

Ответ: $$0;\ \frac{-11-5\sqrt5}{2};\ \frac{-11+5\sqrt5}{2}.$$

в) $$3x^3-8x^2+14x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$x(3x^2-8x+14)=0$$

Тогда $$x=0$$ или

$$3x^2-8x+14=0$$

$$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot 14=64-168=-104<0$$

Квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: $$0.$$

г) $$(2x-3)^3-(2x-3)^2=12x-18$$

Заметим, что $$12x-18=6(2x-3)$$. Тогда

$$(2x-3)^3-(2x-3)^2=6(2x-3)$$

Вынесем общий множитель:

$$(2x-3)\bigl((2x-3)^2-(2x-3)-6\bigr)=0$$

Отсюда либо

$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,$$

либо

$$(2x-3)^2-(2x-3)-6=0.$$

Обозначим $$t=2x-3$$. Тогда

$$t^2-t-6=0$$

$$D=1+24=25$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$

$$t_1=-2,\quad t_2=3$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$2x-3=-2 \Rightarrow x=\frac12,$$

$$2x-3=3 \Rightarrow x=3.$$

Ответ: $$\frac12;\ \frac32;\ 3.$$