Упр.29.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$|x^2-x|=4x$$; в) $$|x^2-6x+10|=x$$; б) $$|2x-x^2+3|=x+7$$; г) $$|-x^2+4x-5|=-x$$.

Рассмотрим каждое уравнение по двум случаям: выражение под модулем равно правой части и выражение под модулем равно противоположному числу.

1. $$|x^2-x|=4x$$

   1) $$x^2-x=4x$$

   $$x^2-5x=0$$

   $$x(x-5)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=5$$

   2) $$x^2-x=-4x$$

   $$x^2+3x=0$$

   $$x(x+3)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-3$$

   Так как $$4x\ge 0$$, то $$x\ge 0$$. Подходят только $$x=0$$ и $$x=5$$.

2. $$|2x-x^2+3|=x+7$$

   1) $$2x-x^2+3=x+7$$

   $$x^2-x+4=0$$

   $$D=1-16=-15<0$$, корней нет.

   2) $$2x-x^2+3=-x-7$$

   $$x^2-3x-10=0$$

   $$D=9+40=49$$

   $$x_1=\frac{3-7}{2}=-2,\quad x_2=\frac{3+7}{2}=5$$

   Так как $$x+7\ge 0$$, то $$x\ge -7$$. Оба корня подходят.

3. $$|x^2-6x+10|=x$$

   1) $$x^2-6x+10=x$$

   $$x^2-7x+10=0$$

   $$D=49-40=9$$

   $$x_1=\frac{7-3}{2}=2,\quad x_2=\frac{7+3}{2}=5$$

   2) $$x^2-6x+10=-x$$

   $$x^2-5x+10=0$$

   $$D=25-40=-15<0$$, корней нет.

   Так как $$x\ge 0$$, полученные корни подходят.

4. $$|-x^2+4x-5|=-x$$

   Правая часть неотрицательна только при $$x\le 0$$.

   1) $$-x^2+4x-5=-x$$

   $$x^2-5x+5=0$$

   $$D=25-20=5$$

   $$x=\frac{5\pm\sqrt5}{2}$$

   Но оба корня положительны, а нужно $$x\le 0$$, значит они не подходят.

   2) $$-x^2+4x-5=x$$

   $$x^2-3x+5=0$$

   $$D=9-20=-11<0$$, корней нет.

Ответ: а) $$0; 5$$; б) $$-2; 5$$; в) $$2; 5$$; г) корней нет.