Упр.29.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 29.8. Решите уравнение:
   а) $$|2x-3|=x$$;
   в) $$|2x-2|=5x+1$$;
   б) $$|3x-1|=x+9$$;
   г) $$|4x+3|=-6x-7$$.

Рассмотрим каждое уравнение по определению модуля.

1. $$|2x-3|=x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то $$x\ge 0.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$2x-3=x \quad \Rightarrow \quad x=3,$$
   $$2x-3=-x \quad \Rightarrow \quad 3x=3 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

   Оба значения удовлетворяют условию $$x\ge 0.$$

2. $$|3x-1|=x+9$$

   Область допустимых значений:

   $$x+9\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge -9.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$3x-1=x+9 \quad \Rightarrow \quad 2x=10 \quad \Rightarrow \quad x=5,$$
   $$3x-1=-(x+9) \quad \Rightarrow \quad 3x-1=-x-9 \quad \Rightarrow \quad 4x=-8 \quad \Rightarrow \quad x=-2.$$

   Оба корня подходят.

3. $$|2x-2|=5x+1$$

   Область допустимых значений:

   $$5x+1\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge -\frac{1}{5}.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$2x-2=5x+1 \quad \Rightarrow \quad -3x=3 \quad \Rightarrow \quad x=-1,$$
   $$2x-2=-(5x+1) \quad \Rightarrow \quad 2x-2=-5x-1 \quad \Rightarrow \quad 7x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{7}.$$

   Число $$x=-1$$ не удовлетворяет ОДЗ, а $$x=\frac{1}{7}$$ подходит.

4. $$|4x+3|=-6x-7$$

   Область допустимых значений:

   $$-6x-7\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le -\frac{7}{6}.$$

   Рассмотрим два случая:

   $$4x+3=-6x-7 \quad \Rightarrow \quad 10x=-10 \quad \Rightarrow \quad x=-1,$$
   $$4x+3=6x+7 \quad \Rightarrow \quad -2x=4 \quad \Rightarrow \quad x=-2.$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: а) $$1; 3$$; б) $$-2; 5$$; в) $$\frac{1}{7}$$; г) $$-2; -1$$.