Упр.29.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

По определению модуля, если $$|f(x)|=h(x),$$ то правая часть неотрицательна, значит

$$h(x)\ge 0.$$

Далее возможны два случая:

• если $$f(x)\ge 0,$$ то $$|f(x)|=f(x),$$ поэтому $$f(x)=h(x);$$
• если $$f(x)<0,$$ то $$|f(x)|=-f(x),$$ поэтому $$-f(x)=h(x),$$ то есть $$f(x)=-h(x).$$

Следовательно, уравнение $$|f(x)|=h(x)$$ равносильно системе

$$\begin{cases} f(x)=h(x),\\ f(x)=-h(x),\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$|f(x)|=h(x)\iff \begin{cases} f(x)=h(x),\\ f(x)=-h(x),\\ h(x)\ge 0. \end{cases}$$