Упр.29.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение функции $$y=f(x)$$:
   а) $$f(x)=|x-1|+|x-2|+\ldots+|x-10|$$;
   б) $$f(x)=|x-1|+|x-2|+\ldots+|x-9|$$.

Рассмотрим сумму модулей как сумму расстояний от точки $$x$$ до целых чисел.

а)

$$f(x)=|x-1|+|x-2|+\dots+|x-10|.$$

При $$x<5$$ функция убывает, при $$x>6$$ — возрастает, а на отрезке $$[5;6]$$ принимает наименьшее значение.

Возьмём, например, $$x=5$$:

$$f(5)=|5-1|+|5-2|+|5-3|+|5-4|+|5-5|+|5-6|+|5-7|+|5-8|+|5-9|+|5-10|$$

$$f(5)=4+3+2+1+0+1+2+3+4+5=25.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$25$$.

б)

$$f(x)=|x-1|+|x-2|+\dots+|x-9|.$$

В этом случае функция убывает при $$x<5$$ и возрастает при $$x>5$$, поэтому минимум достигается при $$x=5$$.

Вычислим:

$$f(5)=|5-1|+|5-2|+|5-3|+|5-4|+|5-5|+|5-6|+|5-7|+|5-8|+|5-9|$$

$$f(5)=4+3+2+1+0+1+2+3+4=20.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$20$$.

Ответ

а) $$25$$; б) $$20$$.