Упр.29.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых существует только один корень уравнения $$|x-1|=p$$, удовлетворяющий неравенству $$x^2\ge 4$$.
б) Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых существует корень уравнения $$|x-1|=p$$, удовлетворяющий неравенству $$x^2\ge 4$$.
в) Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых ни один корень уравнения $$|x-1|=p$$ не удовлетворяет неравенству $$x^2\ge 4$$.
г) Найдите все значения параметра $$p$$, при каждом из которых уравнение $$|x-1|=p$$ имеет корни и все они удовлетворяют неравенству $$x^2\ge 4$$.
Рассмотрим уравнение $$|x-1|=p.$$
Так как модуль неотрицателен, то при $$p<0$$ корней нет. При $$p\ge 0$$ уравнение имеет корни
$$x_1=1-p,\qquad x_2=1+p.$$
Неравенство $$x^2\ge 4$$ равносильно
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
а)
Нужно, чтобы только один из корней удовлетворял неравенству $$x^2\ge 4$$.
Рассмотрим случаи:
- $$1-p\le -2$$ и $$-2<1+p<2$$, то есть $$p\ge 3$$ и $$-3<p<1$$. Совместных значений нет;
- $$1+p\ge 2$$ и $$-2<1-p<2$$, то есть $$p\ge 1$$ и $$-1<p<3$$. Тогда $$1\le p<3$$.
Значит,
$$p\in[1;3)$$.
б)
Нужно, чтобы существовал хотя бы один корень, удовлетворяющий неравенству $$x^2\ge 4$$.
Это выполняется, если хотя бы один из корней попадает в область $$x\le -2$$ или $$x\ge 2$$. Получаем
$$p\ge 1.$$
$$p\in[1;+\infty)$$.
в)
Ни один корень не должен удовлетворять неравенству $$x^2\ge 4$$, то есть оба корня должны лежать в промежутке $$(-2;2)$$:
$$-2<1-p<2,\qquad -2<1+p<2.$$
Отсюда
$$p<3,\qquad p<1.$$
С учётом $$p\ge 0$$ получаем
$$p\in[0;1)$$.
г)
Нужно, чтобы уравнение имело корни и все они удовлетворяли неравенству $$x^2\ge 4$$. Значит, оба корня должны быть вне промежутка $$(-2;2)$$:
$$1-p\le -2,\qquad 1+p\ge 2.$$
Отсюда
$$p\ge 3.$$
$$p\in[3;+\infty)$$.
Ответ
а) $$[1;3)$$; б) $$[1;+\infty)$$; в) $$[0;1)$$; г) $$[3;+\infty)$$.
