Упр.29.59 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите все значения параметра $$t$$, при которых неравенство $$|x+2|+|x-7|+|x+4|\geq t$$ выполняется:
   а) для любых значений $$x$$;
   б) хотя бы для одного значения $$x$$;
   в) для любых значений $$x\leq -7$$;
   г) для любых значений $$x\geq -1$$.

Рассмотрим функцию

$$y=|x+2|+|x-7|+|x+4|.$$

Её вершины находятся в точках $$x=-4,\,-2,\,7.$$ Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-4)=0+9+2=11,$$

$$y(-2)=2+9+0=11,$$

$$y(7)=9+0+11=20.$$

График функции — ломаная, и наименьшее значение на всей числовой прямой равно $$11$$.

1. Чтобы неравенство $$|x+2|+|x-7|+|x+4|\ge t$$ выполнялось для любых значений $$x$$, нужно, чтобы $$t$$ не превосходило наименьшего значения функции:

   $$t\le 11.$$

2. Чтобы неравенство выполнялось хотя бы для одного значения $$x$$, достаточно, чтобы существовало такое $$x$$, при котором левая часть не меньше $$t$$. Так как функция принимает значения сколь угодно большие, это верно при любом $$t$$:

   $$t\in\mathbb{R}.$$

3. Если $$x\le -7$$, то

   $$|x+2|=-(x+2),\quad |x-7|=-(x-7),\quad |x+4|=-(x+4).$$

   Тогда

   $$|x+2|+|x-7|+|x+4|=-3x+1.$$

   При $$x\le -7$$ наименьшее значение этой линейной функции достигается при $$x=-7$$:

   $$y(-7)=21+1=22.$$

   Значит, неравенство будет выполняться для любых $$x\le -7$$, если

   $$t\le 22.$$

4. Если $$x\ge -1$$, то

   $$|x+2|=x+2,\quad |x-7|=|x-7|,\quad |x+4|=x+4.$$

   Минимум на этом промежутке достигается при $$x=-1$$:

   $$y(-1)=1+8+3=12.$$

   Следовательно, неравенство будет выполняться для любых $$x\ge -1$$, если

   $$t\le 12.$$

Ответ: а) $$t\le 11$$; б) $$t\in\mathbb{R}$$; в) $$t\le 22$$; г) $$t\le 12$$.