Упр.29.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим функцию

$$y=|x+2|+|x-7|.$$

Её график — ломаная, вершины которой находятся в точках $$x=-2$$ и $$x=7$$. Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-2)=|0|+|-9|=9,$$

$$y(7)=|9|+|0|=9.$$

Значит, наименьшее значение выражения равно $$9$$, а при удалении от отрезка $$[-2;7]$$ оно возрастает.

1. Если неравенство должно выполняться для любых значений $$x$$, то параметр $$t$$ не должен превышать наименьшее значение выражения:

   $$t\le 9.$$

2. Если неравенство должно выполняться хотя бы для одного значения $$x$$, то достаточно, чтобы $$t$$ не превосходило значения выражения в какой-нибудь точке. Так как $$|x+2|+|x-7|$$ принимает любые значения, начиная с $$9$$, то

   $$t\le 9.$$

3. Если неравенство должно выполняться для всех $$x>10$$, то при $$x>10$$ имеем

   $$|x+2|+|x-7|=(x+2)+(x-7)=2x-5.$$

   Наименьшее значение на промежутке $$x>10$$ достигается при $$x\to 10+0$$:

   $$2\cdot 10-5=15.$$

   Следовательно,

   $$t\le 15.$$

4. Если неравенство должно выполняться для всех $$x\le 1$$, то при $$x\le 1$$

   $$|x+2|+|x-7|=(x+2)+(7-x)=9,$$

   поэтому

   $$t\le 9.$$

Ответ: а) $$t\le 9$$; б) $$t\le 9$$; в) $$t\le 15$$; г) $$t\le 9$$.