Упр.29.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите все значения параметра $$a$$, при которых уравнение имеет единственный корень:

а) $$|x+1|+2|x-1|=1-a$$;

б) $$2|x-5|-|x+6|=2a-1$$.

Рассмотрим каждое уравнение как равенство функции с параметром постоянному числу. Единственный корень будет тогда и только тогда, когда горизонтальная прямая $$y=\text{const}$$ касается графика левой части в одной точке.

а)

Рассмотрим функцию

$$y=|x+1|+2|x-1|.$$

Найдём её вид по промежуткам:

$$y= \begin{cases} -(x+1)+2(1-x), & x<-1,\\ (x+1)+2(1-x), & -1\le x<1,\\ (x+1)+2(x-1), & x\ge 1. \end{cases}$$

То есть

$$y= \begin{cases} -3x+1, & x<-1,\\ -x+3, & -1\le x<1,\\ 3x-1, & x\ge 1. \end{cases}$$

Минимальное значение этой функции достигается в точке $$x=1$$ и равно

$$y_{\min}=|1+1|+2|1-1|=2.$$

Чтобы уравнение

$$|x+1|+2|x-1|=1-a$$

имело единственный корень, правая часть должна совпасть с наименьшим значением функции:

$$1-a=2.$$

Отсюда

$$a=-1.$$

б)

Рассмотрим функцию

$$y=2|x-5|-|x+6|.$$

Найдём её вид по промежуткам:

$$y= \begin{cases} 2(5-x)-(-(x+6)), & x<-6,\\ 2(5-x)-(x+6), & -6\le x<5,\\ 2(x-5)-(x+6), & x\ge 5. \end{cases}$$

То есть

$$y= \begin{cases} 16-x, & x<-6,\\ 4-3x, & -6\le x<5,\\ x-16, & x\ge 5. \end{cases}$$

Наименьшее значение достигается в точке $$x=5$$:

$$y_{\min}=2|5-5|-|5+6|=-11.$$

Чтобы уравнение

$$2|x-5|-|x+6|=2a-1$$

имело единственный корень, нужно

$$2a-1=-11.$$

Тогда

$$2a=-10,\qquad a=-5.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-5$$.