Упр.29.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

29.54. Решите неравенство:
а) $$|3x+5|+|x^2-7|>|x^2+3x-2|$$;
б) $$\left|x^2-\frac{1}{x}\right|+\left|x^2+\frac{5}{x^2-3}\right|>\left|\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2-3}\right|$$;
в) $$|3x+5|+|x^2-7|\leq|x^2+3x-2|$$;
г) $$\left|x^2-\frac{1}{x}\right|+\left|x^2+\frac{5}{x^2-3}\right|\leq\left|\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2-3}\right|$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим разность выражений под модулем:

$$\left(3x+5\right)+\left(x^2-7\right)=x^2+3x-2.$$

Тогда неравенство

$$|3x+5|+|x^2-7|>|x^2+3x-2|$$

равносильно

$$\left(3x+5\right)\left(x^2-7\right)<0.$$

Разложим на множители:

$$\left(x+\sqrt7\right)\left(3x+5\right)\left(x-\sqrt7\right)<0.$$

Отсюда

$$x<-\sqrt7,\quad -\frac53<x<\sqrt7.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-\sqrt7)\cup\left(-\frac53;\sqrt7\right).$$

Ход решения

б) Обозначим

$$a=x^2-\frac1x,\qquad b=x^2+\frac5{x^2-3}.$$

Тогда

$$\left|a\right|+\left|b\right|>\left|\frac1x+\frac5{x^2-3}\right|.$$

Заметим, что

$$a+b=\frac1x+\frac5{x^2-3}.$$

По свойству модулей неравенство вида $$|a|+|b|>|a+b|$$ выполняется тогда и только тогда, когда числа $$a$$ и $$b$$ имеют противоположные знаки, то есть

$$ab<0.$$

Получаем

$$\left(x^2-\frac1x\right)\left(x^2+\frac5{x^2-3}\right)<0.$$

Преобразуем:

$$\frac{x^3-1}{x}\cdot\frac{x^4-3x^2+5}{x^2-3}<0.$$

Так как

$$x^4-3x^2+5>0$$

при всех $$x$$, а

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$$

то знак произведения определяется выражением

$$\frac{x-1}{x(x^2-3)}<0.$$

С учётом ОДЗ $$x\neq0,\;x\neq\pm\sqrt3$$ получаем