Упр.29.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$a=f(x),\quad b=g(x).$$ Тогда нужно доказать два утверждения.

а)

Рассмотрим неравенство $$|a|+|b|>|a+b|.$$

Если $$ab<0,$$ то числа $$a$$ и $$b$$ разных знаков. Тогда

$$|a+b|=||a|-|b||,  $$

а значит

$$|a|+|b|>||a|-|b||=|a+b|.$$

Если же $$ab\ge 0,$$ то числа $$a$$ и $$b$$ одного знака, и

$$|a+b|=|a|+|b|.$$

Следовательно, неравенство $$|f(x)|+|g(x)|>|f(x)+g(x)|$$ выполняется тогда и только тогда, когда

$$f(x)\cdot g(x)<0.$$

б)

Рассмотрим неравенство $$|a|+|b|\le |a+b|.$$

Если $$ab\ge 0,$$ то числа $$a$$ и $$b$$ одного знака, поэтому

$$|a+b|=|a|+|b|.$$

Если же $$ab<0,$$ то

$$|a+b|=||a|-|b||\le |a|+|b|,$$

но равенство здесь невозможно, так как при разных знаках $$a$$ и $$b$$ сумма по модулю строго меньше суммы модулей.

Значит, неравенство $$|f(x)|+|g(x)|\le |f(x)+g(x)|$$ выполняется тогда и только тогда, когда

$$f(x)\cdot g(x)\ge 0.$$