Упр.29.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\left|x-\sqrt{3x+7}\right|+\left|2x-\sqrt{3x+7}\right|\geq |x|$$;

б) $$\left|x^2+2x\right|\leq \left|x^2+x-\frac{\sqrt{1-x}}{x}\right|+\left|x+\frac{\sqrt{1-x}}{x}\right|$$.

а) Рассмотрим выражение под модулями:

$$\sqrt{3x+7}-x$$ и $$2x-\sqrt{3x+7}.$$

Тогда

$$\left|x-\sqrt{3x+7}\right|+\left|2x-\sqrt{3x+7}\right|=\left|\sqrt{3x+7}-x\right|+\left|2x-\sqrt{3x+7}\right|.$$

Если оба выражения неотрицательны, то

$$\left|\sqrt{3x+7}-x\right|+\left|2x-\sqrt{3x+7}\right|=(\sqrt{3x+7}-x)+(2x-\sqrt{3x+7})=x.$$

Значит, неравенство выполняется при всех допустимых значениях $$x$$, для которых

$$3x+7\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge -\frac{7}{3}.$$

Следовательно,

$$x\in\left[-\frac{7}{3};+\infty\right).$$

б) Обозначим

$$a=x^2+x-\frac{\sqrt{1-x}}{x}, \qquad b=x+\frac{\sqrt{1-x}}{x}.$$

Тогда

$$a+b=x^2+2x.$$

Следовательно, заданное неравенство имеет вид

$$|a+b|\le |a|+|b|,$$

а это верно для любых допустимых значений $$x$$.

Найдём область допустимых значений:

$$1-x\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

Значит,

$$x\le 1,\qquad x\ne 0.$$

Итак,

$$x\in(-\infty;0)\cup(0;1].$$

Ответ

а) $$x\in\left[-\frac{7}{3};+\infty\right)$$; б) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;1]$$.