Упр.29.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от знаков $$f(x)$$ и $$g(x)$$.
Если $$f(x)\ge 0$$ и $$g(x)\ge 0$$, то
$$|f(x)|+|g(x)|=f(x)+g(x)=|f(x)+g(x)|.$$
Если $$f(x)\le 0$$ и $$g(x)\le 0$$, то
$$|f(x)|+|g(x)|=-f(x)-g(x)=|f(x)+g(x)|.$$
Если $$f(x)\ge 0$$, $$g(x)\le 0$$ и $$f(x)\ge -g(x)$$, то
$$|f(x)|+|g(x)|=f(x)-g(x)\ge f(x)+g(x)=|f(x)+g(x)|.$$
Если $$f(x)\le 0$$, $$g(x)\ge 0$$ и $$g(x)\ge -f(x)$$, то
$$|f(x)|+|g(x)|=-f(x)+g(x)\ge f(x)+g(x)=|f(x)+g(x)|.$$
Во всех случаях выполняется неравенство
$$|f(x)|+|g(x)|\ge |f(x)+g(x)|.$$
Аналогично, переходя к квадратам, получаем
$$\sqrt{f^2(x)}+\sqrt{g^2(x)}\ge \sqrt{(f(x)+g(x))^2}.$$
Так как $$\sqrt{f^2(x)}=|f(x)|$$ и $$\sqrt{g^2(x)}=|g(x)|$$, то это неравенство совпадает с уже доказанным.
Следовательно, множество решений неравенства совпадает с пересечением множеств $$D(f)$$ и $$D(g)$$.
Ответ
$$|f(x)|+|g(x)|\ge |f(x)+g(x)|,$$ а значит, решение определяется на $$D(f)\cap D(g)$$.
