Упр.29.52 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$|x+1|\leq 2x$$;
   б) $$|2x-1|+|6x-3|<12$$;
   в) $$|16-8x|<4x+2$$;
   г) $$|12x+4|+|9x+3|<28$$.

Решим неравенства по свойству модуля.

1. $$|x+1|\le 2x$$

   Правая часть должна быть неотрицательной, значит $$x\ge 0.$$ Тогда

   $$-2x\le x+1\le 2x.$$

   Из левой части получаем $$1\le 3x,$$ то есть $$x\ge \frac13.$$

   Из правой части получаем $$x\ge -1,$$ что при $$x\ge 0$$ выполняется автоматически.

   Следовательно, $$x\in\left[\frac13;+\infty\right).$$

2. $$|2x-1|+|6x-3|<12$$

   Заметим, что $$|6x-3|=3|2x-1|.$$ Тогда

   $$|2x-1|+3|2x-1|<12,$$

   $$4|2x-1|<12,$$

   $$|2x-1|<3.$$

   Отсюда

   $$-3<2x-1<3,$$

   $$-2<2x<4,$$

   $$-1<x<2.$$

3. $$|16-8x|<4x+2$$

   Правая часть должна быть положительной:

   $$4x+2>0,\quad x>-\frac12.$$

   Преобразуем модуль:

   $$|16-8x|=8|2-x|.$$

   Тогда

   $$8|2-x|<4x+2.$$

   Рассмотрим по знаку выражения $$16-8x$$:

   Если $$x\le 2,$$ то $$|16-8x|=16-8x,$$ и

   $$16-8x<4x+2,$$

   $$14<12x,$$

   $$x>\frac76.$$

   С учётом $$x\le 2$$ и $$x>-\frac12$$ получаем $$\frac76<x\le 2.$$

   Если $$x>2,$$ то $$|16-8x|=8x-16,$$ и

   $$8x-16<4x+2,$$

   $$4x<18,$$

   $$x<\frac92.$$

   С учётом $$x>2$$ получаем $$2<x<\frac92.$$

   Объединяя, имеем

   $$x\in\left(\frac76;\frac92\right).$$

4. $$|12x+4|+|9x+3|<28$$

   Вынесем общий множитель:

   $$4|3x+1|+3|3x+1|<28,$$

   $$7|3x+1|<28,$$

   $$|3x+1|<4.$$

   Тогда

   $$-4<3x+1<4,$$

   $$-5<3x<3,$$

   $$-\frac53<x<1.$$

Ответ: а) $$x\in\left[\frac13;+\infty\right);$$ б) $$x\in(-1;2);$$ в) $$x\in\left(\frac76;\frac92\right);$$ г) $$x\in\left(-\frac53;1\right).$$