Упр.29.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$|2x-1|\geq x$$;
   б) $$|4x-12|+|5x-15|>9x-9$$;
   в) $$|3x-4|>x+1$$;
   г) $$|12x+4|+|9x+3|\geq -7x$$.

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. $$|2x-1|\ge x$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$2x-1\ge 0$$, то $$x\ge \frac12$$ и

   $$2x-1\ge x \;\Rightarrow\; x\ge 1.$$

   2) Если $$2x-1<0$$, то $$x<\frac12$$ и

   $$1-2x\ge x \;\Rightarrow\; 1\ge 3x \;\Rightarrow\; x\le \frac13.$$

   Объединяя, получаем:

   $$x\in\left(-\infty;\frac13\right]\cup[1;+\infty).$$

2. $$|4x-12|+|5x-15|>9x-9$$

   Вынесем множители:

   $$4|x-3|+5|x-3|>9x-9,$$
   $$9|x-3|>9(x-1),$$
   $$|x-3|>x-1.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, и

   $$3-x>x-1 \;\Rightarrow\; 4>2x \;\Rightarrow\; x<2.$$

   2) Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, и

   $$x-3>x-1,$$

   что невозможно.

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;2).$$

3. $$|3x-4|>x+1$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x<\frac43$$, то $$|3x-4|=4-3x$$, и

   $$4-3x>x+1 \;\Rightarrow\; 3>4x \;\Rightarrow\; x<\frac34.$$

   2) Если $$x\ge \frac43$$, то $$|3x-4|=3x-4$$, и

   $$3x-4>x+1 \;\Rightarrow\; 2x>5 \;\Rightarrow\; x>\frac52.$$

   Итак,

   $$x\in\left(-\infty;\frac34\right)\cup\left(\frac52;+\infty\right).$$

4. $$|12x+4|+|9x+3|\ge -7x$$

   Вынесем множители:

   $$4|3x+1|+3|3x+1|\ge -7x,$$
   $$7|3x+1|\ge -7x,$$
   $$|3x+1|\ge -x.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$x<-\frac13$$, то $$|3x+1|=-(3x+1)$$, и

   $$-3x-1\ge -x \;\Rightarrow\; -2x\ge 1 \;\Rightarrow\; x\le -\frac12.$$

   2) Если $$x\ge -\frac13$$, то $$|3x+1|=3x+1$$, и

   $$3x+1\ge -x \;\Rightarrow\; 4x\ge -1 \;\Rightarrow\; x\ge -\frac14.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right]\cup\left[-\frac14;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\infty;\frac13\right]\cup[1;+\infty)$$;
б) $$x\in(-\infty;2)$$;
в) $$x\in\left(-\infty;\frac34\right)\cup\left(\frac52;+\infty\right)$$;
г) $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right]\cup\left[-\frac14;+\infty\right).$$