Упр.29.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\left|x^2-2x-5\right|\geq -2x-5$$;
   б) $$\left|-2x^2+5x+7\right|\geq 2x^2-6x+7$$;
   в) $$\left|5-4x-x^2\right|>2-x-x^2$$;
   г) $$\left|x^3-x^2-4x\right|\geq -x^3-5x-4$$.

Используем свойство модуля: $$|A|\ge B$$ равносильно системе $$\begin{cases}A\ge B,\\ -A\ge B.\end{cases}$$

1. $$|x^2-2x-5|\ge -2x-5$$

   Рассмотрим два случая:

   $$x^2-2x-5\ge -2x-5 \;\Rightarrow\; x^2\ge 0,$$
   что верно при любом $$x\in\mathbb R$$.

   $$x^2-2x-5\le 2x+5 \;\Rightarrow\; x^2-4x-10\le 0.$$
   Но это условие не ограничивает уже полученный результат, так как первое неравенство выполняется для всех $$x$$.

   Следовательно, $$x\in\mathbb R$$.

2. $$|-2x^2+5x+7|\ge 2x^2-6x+7$$

   1) $$-2x^2+5x+7\ge 2x^2-6x+7$$

   $$-4x^2+11x\ge 0$$

   $$x(11-4x)\ge 0,$$

   откуда $$x\in\left[0;\frac{11}{4}\right].$$

   2) $$-2x^2+5x+7\le -2x^2+6x-7$$

   $$x\ge 14.$$

   Объединяя, получаем:

   $$x\in\left[0;\frac{11}{4}\right]\cup[14;+\infty).$$

3. $$|5-4x-x^2|>2-x-x^2$$

   1) $$5-4x-x^2>2-x-x^2$$

   $$-3x>-3,$$

   $$x<1.$$

   2) $$5-4x-x^2<-(2-x-x^2)$$

   $$5-4x-x^2<-2+x+x^2,$$

   $$2x^2+5x-7>0.$$

   Корни уравнения $$2x^2+5x-7=0$$:

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=81,$$

   $$x_1=-\frac{7}{2},\quad x_2=1.$$

   Тогда $$2x^2+5x-7>0$$ при $$x\in(-\infty;-\frac{7}{2})\cup(1;+\infty).$$

   С учётом условия $$x<1$$ получаем:

   $$x\in(-\infty;1).$$

4. $$|x^3-x^2-4x|\ge -x^3-5x-4$$

   1) $$x^3-x^2-4x\ge -x^3-5x-4$$

   $$2x^3-x^2+x+4\ge 0,$$

   $$(x+1)(2x^2-3x+4)\ge 0.$$

   Так как $$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32<0,$$ то $$2x^2-3x+4>0$$ при всех $$x$$. Значит,

   $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

   2) $$x^3-x^2-4x\le x^3+5x+4$$

   $$x^2+9x+4\ge 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=9^2-4\cdot 1\cdot 4=65,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-9\pm\sqrt{65}}{2}.$$

   Тогда

   $$x\le \frac{-9-\sqrt{65}}{2}\quad \text{или}\quad x\ge \frac{-9+\sqrt{65}}{2}.$$

   Пересекаем с условием $$x\ge -1$$:

   $$x\in\left[-1;+\infty\right).$$

   Итог:

   $$x\in\left(-\infty;\frac{-9-\sqrt{65}}{2}\right]\cup[-1;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\mathbb R$$;
б) $$x\in\left[0;\frac{11}{4}\right]\cup[14;+\infty)$$;
в) $$x\in(-\infty;1)$$;
г) $$x\in\left(-\infty;\frac{-9-\sqrt{65}}{2}\right]\cup[-1;+\infty)$$.