Упр.29.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для каждого значения параметра $$p$$ определите число корней уравнения:
   а) $$|x+1|=2-p$$;
   в) $$|2-x|=-1-5p$$;
   б) $$|2x-x^2|=\log_5(p)$$;
   г) $$|x^2-1|=4(p-1)-p^2$$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1. $$|x+1|=2-p$$

   Левая часть неотрицательна, значит $$2-p\ge 0$$, то есть $$p\le 2$$.

   Если $$2-p>0$$, то уравнение $$|x+1|=2-p$$ имеет два корня. При $$2-p=0$$ получаем один корень. Если $$2-p<0$$, корней нет.

   Следовательно:

   • при $$p>2$$ корней нет;
   • при $$p=2$$ один корень;
   • при $$p<2$$ два корня.

2. $$|2x-x^2|=\log_5 p$$

   Для существования правой части нужно $$p>0$$.

   Функция $$y=|2x-x^2|$$ принимает значения от $$0$$ и выше. По графику:

   • если $$\log_5 p<0$$, то корней нет;
   • если $$\log_5 p=0$$ или $$\log_5 p=1$$, то по два корня;
   • если $$0<\log_5 p<1$$, то четыре корня;
   • если $$\log_5 p>1$$, то два корня.

   Переходим к параметру $$p$$:

   • $$\log_5 p<0 \iff 0<p<1$$;
   • $$\log_5 p=0 \iff p=1$$;
   • $$\log_5 p=1 \iff p=5$$;
   • $$0<\log_5 p<1 \iff 1<p<5$$;
   • $$\log_5 p>1 \iff p>5$$.

   Значит:

   • при $$0<p<1$$ корней нет;
   • при $$p=1$$ или $$p>5$$ два корня;
   • при $$p=5$$ три корня;
   • при $$1<p<5$$ четыре корня.

3. $$|2-x|=1-2\sin p$$

   Левая часть неотрицательна, поэтому нужно $$1-2\sin p\ge 0$$, то есть $$\sin p\le \frac12$$.

   Функция $$y=|2-x|$$ имеет минимум $$0$$, и:

   • если $$1-2\sin p<0$$, корней нет;
   • если $$1-2\sin p=0$$, один корень;
   • если $$1-2\sin p>0$$, два корня.

   Так как $$1-2\sin p>0 \iff \sin p<\frac12$$, получаем:

   • при $$\sin p>\frac12$$ корней нет;
   • при $$\sin p=\frac12$$ один корень;
   • при $$\sin p<\frac12$$ два корня.

   Решение неравенства $$\sin p=\frac12$$ даёт точки $$p=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$, а промежутки $$\sin p<\frac12$$ и $$\sin p>\frac12$$ чередуются между ними. Поэтому:

   • если $$p=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$, то один корень;
   • если $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<p<\frac{13\pi}{6}+2\pi n$$, то два корня;
   • если $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<p<\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$, то корней нет.

4. $$|x^2-1|=4(p-1)-p^2$$

   Преобразуем правую часть:

   $$4(p-1)-p^2=-(p^2-4p+4)=-(p-2)^2\le 0.$$

   Левая часть неотрицательна, значит равенство возможно только при

   $$|x^2-1|=0 \quad \text{и} \quad -(p-2)^2=0.$$

   Отсюда

   $$x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1,$$

   а также

   $$p=2.$$

   При $$p=2$$ уравнение имеет два корня, при остальных значениях $$p$$ корней нет.

Ответ

а) при $$p>2$$ корней нет, при $$p=2$$ один корень, при $$p<2$$ два корня;
б) при $$0<p<1$$ корней нет, при $$p=1$$ или $$p>5$$ два корня, при $$p=5$$ три корня, при $$1<p<5$$ четыре корня;
в) при $$p=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$ один корень, при $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n<p<\frac{13\pi}{6}+2\pi n$$ два корня, при $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<p<\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$ корней нет;
г) при $$p=2$$ два корня, при $$p\ne 2$$ корней нет.