Упр.29.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Рассмотрим модульное неравенство как систему двух неравенств:
$$\begin{aligned} 5x-\frac{1}{x}>4x,\\ 5x-\frac{1}{x}<-4x. \end{aligned}$$
1) $$5x-\frac{1}{x}>4x$$
$$5x-\frac{1}{x}-4x>0 \\ x-\frac{1}{x}>0 \\ \frac{x^2-1}{x}>0 \\ \frac{(x-1)(x+1)}{x}>0$$
Отсюда $$x\in(-1;0)\cup(1;+\infty).$$
2) $$5x-\frac{1}{x}<-4x$$
$$5x-\frac{1}{x}+4x<0 \\ 9x-\frac{1}{x}<0 \\ \frac{9x^2-1}{x}<0 \\ \frac{(3x-1)(3x+1)}{x}<0$$
Отсюда $$x\in(-\infty;-\tfrac13)\cup(0;\tfrac13).$$
Пересекаем полученные множества:
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;\tfrac13)\cup(1;+\infty).$$
б) $$\left|\frac{x-1}{x+2}\right|>\frac{17x-39}{20x-20}, \qquad x\ne-2,\; x\ne1.$$
Решаем по определению модуля:
$$\begin{aligned} \frac{x-1}{x+2}>\frac{17x-39}{20x-20},\\ \frac{x-1}{x+2}<-\frac{17x-39}{20x-20}. \end{aligned}$$
1) $$\frac{x-1}{x+2}>\frac{17x-39}{20x-20}$$
$$\frac{20(x-1)^2-(17x-39)(x+2)}{20(x-1)(x+2)}>0$$
$$\frac{3x^2-35x+98}{(x-1)(x+2)}>0$$
$$3x^2-35x+98=0,\qquad D=49,\qquad x_1=\frac{14}{3},\; x_2=7.$$
Значит,
$$\frac{(x-\frac{14}{3})(x-7)}{(x-1)(x+2)}>0.$$
Отсюда $$x\in(-\infty;-2)\cup(1;\tfrac{14}{3})\cup(7;+\infty).$$
2) $$\frac{x-1}{x+2}<-\frac{17x-39}{20x-20}$$
$$\frac{20(x-1)^2+(x+2)(17x-39)}{20(x-1)(x+2)}<0$$
$$\frac{37x^2-45x-58}{(x-1)(x+2)}<0$$
$$37x^2-45x-58=0,\qquad D=10609,\qquad x_1=-\frac{29}{37},\; x_2=2.$$
Тогда
$$\frac{(x+\frac{29}{37})(x-2)}{(x-1)(x+2)}<0.$$
Отсюда $$x\in(-2;-\tfrac{29}{37})\cup(1;2).$$
Объединяя результаты, получаем:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-\tfrac{29}{37})\cup(1;\tfrac{14}{3})\cup(7;+\infty).$$
в) $$\left|x-1\right|\ge \frac{32-14x}{x+2}, \qquad x\ne-2.$$
Рассмотрим два случая:
$$\begin{aligned} x-1&\ge \frac{32-14x}{x+2},\\ x-1&\le -\frac{32-14x}{x+2}. \end{aligned}$$
1) $$x-1\ge \frac{32-14x}{x+2}$$
$$\frac{(x-1)(x+2)-32+14x}{x+2}\ge 0$$
$$\frac{x^2+15x-34}{x+2}\ge 0$$
$$x^2+15x-34=0,\qquad D=361,\qquad x_1=-17,\; x_2=2.$$
Отсюда $$x\in(-17;-2)\cup[2;+\infty).$$
2) $$x-1\le -\frac{32-14x}{x+2}$$
$$\frac{(x-1)(x+2)+32-14x}{x+2}\le 0$$
$$\frac{x^2-13x+30}{x+2}\le 0$$
$$x^2-13x+30=0,\qquad D=49,\qquad x_1=3,\; x_2=10.$$
Отсюда $$x\in(-\infty;-2)\cup[3;10].$$
Пересечение решений даёт:
$$x\in(-\infty;-2)\cup[2;+\infty).$$
г) $$\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\ge \frac{x-2}{x}, \qquad x\ne-2,\; x\ne0.$$
Снова рассмотрим два неравенства:
$$\begin{aligned} \frac{x-2}{x+2}&\ge \frac{x-2}{x},\\ \frac{x-2}{x+2}&\le -\frac{x-2}{x}. \end{aligned}$$
1) $$\frac{x-2}{x+2}\ge \frac{x-2}{x}$$
$$\frac{x(x-2)-(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\ge 0$$
$$\frac{2(2-x)}{x(x+2)}\ge 0$$
Отсюда $$x\in(-2;-1]\cup(0;2].$$
2) $$\frac{x-2}{x+2}\le -\frac{x-2}{x}$$
$$\frac{x(x-2)+(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\le 0$$
$$\frac{2x^2-2x-4}{x(x+2)}\le 0$$
$$\frac{(x+1)(x-2)}{x(x+2)}\le 0$$
Отсюда $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;0)\cup[2;+\infty).$$
Объединяя результаты, получаем:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1]\cup(0;2].$$
