Упр.29.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$|7x-11|>3x+5$$; б) $$|5x+7|\geq 3x^2+11x-2$$; в) $$|4-x|>-3x-2$$; г) $$|5-4x|\geq 5-7x-3x^2$$.

а) Рассмотрим два случая:

$$\begin{aligned} |7x-11|>3x+5 \\ 7x-11&gtrless 3x+5 \end{aligned}$$

Если $$7x-11\ge 0,$$ то $$7x-11>3x+5,$$ откуда

$$4x>16,\quad x>4.$$

Если $$7x-11<0,$$ то $$-(7x-11)>3x+5,$$ то есть

$$-7x+11>3x+5,\quad -10x>-6,\quad x<0{,}6.$$

Следовательно,
$$x\in(-\infty;0{,}6)\cup(4;+\infty).$$

б) Решим неравенство

$$|5x+7|\ge 3x^2+11x-2.$$

Получаем систему двух неравенств:

$$\begin{cases} 5x+7\ge 3x^2+11x-2,\\ 5x+7\le -3x^2-11x+2. \end{cases}$$

1) $$5x+7\ge 3x^2+11x-2$$

$$3x^2+6x-9\le 0,$$
$$x^2+2x-3\le 0,$$
$$(x+3)(x-1)\le 0.$$

Отсюда $$x\in[-3;1].$$

2) $$5x+7\le -3x^2-11x+2$$

$$3x^2+16x+5\le 0,$$
$$(3x+1)(x+5)\le 0.$$

Отсюда $$x\in[-5;-\tfrac13].$$

Пересечение решений:
$$x\in[-5;1].$$

в) Рассмотрим неравенство

$$|4-x|>-3x-2.$$

Так как $$|4-x|=|x-4|,$$ то достаточно проверить случаи:

$$4-x>-3x-2 \quad \text{и} \quad 4-x>3x+2.$$

Из первого получаем

$$2x>-6,\quad x>-3.$$

Из второго получаем

$$-4x>-2,\quad x<\tfrac12.$$

Для выполнения неравенства достаточно, чтобы выполнялось первое условие, так как при $$x>-3$$ левая часть больше правой. Поэтому

$$x\in(-3;+\infty).$$

г) Решим неравенство

$$|5-4x|\ge 5-7x-3x^2.$$

Рассмотрим два случая:

$$\begin{cases} 5-4x\ge 5-7x-3x^2,\\ 5-4x\le 5-7x-3x^2. \end{cases}$$

1) $$5-4x\ge 5-7x-3x^2$$

$$3x^2+3x\ge 0,$$
$$3x(x+1)\ge 0.$$

Отсюда
$$x\in(-\infty;-1]\cup[0;+\infty).$$

2) $$5-4x\le 5-7x-3x^2$$

$$3x^2+3x\le 0,$$
$$3x(x+1)\le 0,$$

откуда
$$x\in[-1;0].$$

Объединяя решения, получаем
$$x\in(-\infty;-1]\cup[0;+\infty).$$

Ответ: а) $$(-\infty;0{,}6)\cup(4;+\infty)$$; б) $$[-5;1]$$; в) $$(-3;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-1]\cup[0;+\infty)$$.