Упр.29.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$|x^2+7x-7|\le 2x+7$$; б) $$|-x^2+5x+1|\le x^2+6x+1$$; в) $$|5-4x-x^2|<7-6x-x^2$$; г) $$|x^3-x^2-4x-2|\le -x^2-3x-2$$.

а) Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} x^2+7x-7\le 2x+7,\\ x^2+7x-7\ge -2x-7. \end{cases}$$

Из первого неравенства получаем:

$$x^2+5x-14\le 0 \\ (x+7)(x-2)\le 0 \\ x\in[-7;2].$$

Из второго неравенства:

$$x^2+9x\ge 0 \\ x(x+9)\ge 0 \\ x\in(-\infty;-9]\cup[0;+\infty).$$

Пересекаем множества решений:

$$[-7;2]\cap\bigl((-\infty;-9]\cup[0;+\infty)\bigr)=[0;2].$$

б) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} -x^2+5x+1\le x^2+6x+1,\\ -x^2+5x+1\ge -x^2-6x-1. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$2x^2+x\ge 0 \\ x(2x+1)\ge 0 \\ x\in(-\infty;-\tfrac12]\cup[0;+\infty).$$

Второе неравенство:

$$11x+2\ge 0 \\ x\ge -\frac{2}{11}.$$

Пересечение решений:

$$\left((-\infty;-\tfrac12]\cup[0;+\infty)\right)\cap\left[-\frac{2}{11};+\infty\right)=[0;+\infty).$$

в) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 5-4x-x^2<7-6x-x^2,\\ 5-4x-x^2>-7+6x+x^2. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$2x<2 \\ x<1.$$

Из второго:

$$2x^2+10x-12<0 \\ x^2+5x-6<0 \\ (x+6)(x-1)<0 \\ x\in(-6;1).$$

Пересечение даёт:

$$x\in(-6;1).$$

г) Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} x^3-x^2-4x-2\le -x^2-3x-2,\\ x^3-x^2-4x-2\ge x^2+3x+2. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$x^3-4x\le 0 \\ x(x^2-4)\le 0 \\ x(x-2)(x+2)\le 0.$$

Второе неравенство:

$$x^3-2x^2-7x-4\ge 0 \\ (x+1)(x^2-3x-4)\ge 0 \\ (x+1)^2(x-4)\ge 0.$$

Отсюда:

$$x\in[-2;0]\cup[2;+\infty)$$

и

$$x\in\{-1\}\cup[4;+\infty).$$

Пересечение множеств решений:

$$\bigl([-2;0]\cup[2;+\infty)\bigr)\cap\bigl(\{-1\}\cup[4;+\infty)\bigr)=\{-1\}.$$

Ответ

а) $$x\in[0;2]$$; б) $$x\in[0;+\infty)$$; в) $$x\in(-6;1)$$; г) $$x=-1$$.