Упр.29.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left|5x-\frac{1}{x}\right|<4x$$; в) $$|x-1|\leq\frac{32-14x}{x+2}$$; б) $$\left|\frac{x-1}{x+2}\right|<\frac{17x-39}{20x-20}$$; г) $$\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\leq\frac{x-2}{x}$$.

а) Рассмотрим неравенство $$\left|5x-\frac1x\right|<4x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$4x>0,$$ значит $$x>0.$$ Тогда

$$-4x<5x-\frac1x<4x.$$

Решим по частям:

$$5x-\frac1x>-4x \;\Longrightarrow\; 9x-\frac1x>0 \;\Longrightarrow\; \frac{9x^2-1}{x}>0 \;\Longrightarrow\; \frac{(3x-1)(3x+1)}{x}>0,$$

откуда при $$x>0$$ получаем $$x>\frac13.$$

Вторая часть:

$$5x-\frac1x<4x \;\Longrightarrow\; x-\frac1x<0 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2-1}{x}<0 \;\Longrightarrow\; \frac{(x-1)(x+1)}{x}<0,$$

откуда при $$x>0$$ получаем $$0<x<1.$$

Пересечение условий:

$$x\in\left(\frac13;1\right).$$

б) $$\left|\frac{x-1}{x+2}\right|<\frac{17x-39}{20x-20}.$$

Правая часть должна быть положительной, поэтому решаем систему неравенств:

$$\frac{x-1}{x+2}<\frac{17x-39}{20x-20}, \qquad -\frac{x-1}{x+2}<\frac{17x-39}{20x-20}.$$

1) $$\frac{x-1}{x+2}<\frac{17x-39}{20x-20}$$

$$\frac{20(x-1)^2-(x+2)(17x-39)}{20(x+2)(x-1)}<0,$$

$$\frac{3x^2-35x+98}{(x+2)(x-1)}<0,$$

$$\frac{(x-14/3)(x-7)}{(x+2)(x-1)}<0.$$

Отсюда $$x\in(-2;1)\cup\left(\frac{14}{3};7\right).$$

2) $$-\frac{x-1}{x+2}<\frac{17x-39}{20x-20}$$

$$\frac{20(x-1)^2+(x+2)(17x-39)}{20(x+2)(x-1)}>0,$$

$$\frac{37x^2-45x-58}{(x+2)(x-1)}>0,$$

$$\frac{(x+\frac{29}{37})(x-2)}{(x+2)(x-1)}>0.$$

Отсюда $$x\in\left(-\frac{29}{37};1\right)\cup(2;+\infty).$$

Пересечение решений даёт

$$x\in\left(-\frac{29}{37};1\right)\cup\left(\frac{14}{3};7\right).$$

в) $$|x-1|\le \frac{32-14x}{x+2}.$$

Решаем систему:

$$x-1\le \frac{32-14x}{x+2}, \qquad -(x-1)\le \frac{32-14x}{x+2}.$$

1) $$x-1\le \frac{32-14x}{x+2}$$

$$\frac{(x-1)(x+2)-(32-14x)}{x+2}\le 0,$$

$$\frac{x^2-13x+30}{x+2}\le 0,$$

$$\frac{(x-3)(x-10)}{x+2}\le 0,$$

откуда $$x\in(-2;3]\cup[10;+\infty).$$

2) $$x-1\ge -\frac{32-14x}{x+2}$$

$$\frac{(x-1)(x+2)+(32-14x)}{x+2}\ge 0,$$

$$\frac{x^2+15x-34}{x+2}\ge 0,$$

$$\frac{(x+17)(x-2)}{x+2}\ge 0,$$

откуда $$x\in(-\infty;-17]\cup(-2;2].$$

Пересечение:

$$x\in(-2;2].$$

г) $$\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\le \frac{x-2}{x}.$$

Решаем систему:

$$\frac{x-2}{x+2}\le \frac{x-2}{x}, \qquad \frac{x-2}{x+2}\ge -\frac{x-2}{x}.$$

1) $$\frac{x-2}{x+2}\le \frac{x-2}{x}$$

$$\frac{x(x-2)-(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\le 0,$$

$$\frac{2x-4}{x(x+2)}\le 0,$$

$$\frac{x-2}{x(x+2)}\le 0,$$

откуда $$x\in(-2;0)\cup[2;+\infty).$$

2) $$\frac{x-2}{x+2}\ge -\frac{x-2}{x}$$

$$\frac{x(x-2)+(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\ge 0,$$

$$\frac{2x^2-4}{x(x+2)}\ge 0,$$

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x+2)}\ge 0,$$

откуда $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;0)\cup[1;+\infty).$$

Пересечение решений:

$$x\in[-1;0)\cup[2;+\infty).$$

Ответ: а) $$x\in\left(\frac13;1\right);$$ б) $$x\in\left(-\frac{29}{37};1\right)\cup\left(\frac{14}{3};7\right);$$ в) $$x\in(-2;2];$$ г) $$x\in[-1;0)\cup[2;+\infty).$$