Упр.29.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$|5x+7|<8x-11$$; в) $$|5x+7|\leq 14x^2-2$$; б) $$|5-4x|\leq 8x+17$$; г) $$|5-4x|\leq 11-10x^2$$.
а) $$|5x+7|<8x-11$$
Так как правая часть должна быть положительной, то $$8x-11>0.$$ Тогда
$$\begin{aligned} |5x+7|<8x-11 \\ -\, (8x-11)<5x+7<8x-11 \end{aligned}$$
Решаем систему неравенств:
$$\begin{aligned} 5x+7>-8x+11,\\ 5x+7&<8x-11. \end{aligned}$$
Отсюда
$$\begin{aligned} 13x&>4,\\ 3x&>18, \end{aligned}$$
то есть $$x>\frac{4}{13}$$ и $$x>6.$$ Следовательно, $$x>6.$$
б) $$|5-4x|\le 8x+17$$
Если $$8x+17<0,$$ то решений нет, поэтому рассматриваем случай $$8x+17\ge 0.$$ Тогда
$$\begin{aligned} -\, (8x+17)\le 5-4x\le 8x+17. \end{aligned}$$
Получаем:
$$\begin{aligned} 5-4x&\ge -8x-17,\\ 5-4x&\le 8x+17. \end{aligned}$$
Отсюда
$$\begin{aligned} 4x&\ge -22,\\ 12x&\ge -12, \end{aligned}$$
то есть $$x\ge -\frac{11}{2}$$ и $$x\ge -1.$$ Значит, $$x\ge -1.$$
в) $$|5x+7|\le 14x^2-2$$
Рассмотрим систему:
$$\begin{aligned} 5x+7&\le 14x^2-2,\\ -(5x+7)&\le 14x^2-2. \end{aligned}$$
То есть
$$\begin{aligned} 14x^2-5x-9&\ge 0,\\ 14x^2+5x+5&\ge 0. \end{aligned}$$
Во втором неравенстве дискриминант отрицателен:
$$D=5^2-4\cdot 14\cdot 5=25-280<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит $$14x^2+5x+5>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$
Остаётся решить первое неравенство:
$$14x^2-5x-9\ge 0.$$
$$D=25+4\cdot 14\cdot 9=529,\quad \sqrt D=23.$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 23}{28},\quad x_1=-\frac{9}{14},\quad x_2=1.$$
Тогда
$$14x^2-5x-9=(14x+9)(x-1)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -\frac{9}{14}\quad \text{или}\quad x\ge 1.$$
г) $$|5-4x|\le 11-10x^2$$
Так как правая часть неотрицательна, то
$$11-10x^2\ge 0.$$
Рассмотрим систему:
$$\begin{aligned} 5-4x&\le 11-10x^2,\\ 5-4x&\ge -11+10x^2. \end{aligned}$$
Первое неравенство:
$$10x^2-4x-6\le 0.$$
$$D=16+240=256,\quad \sqrt D=16,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 16}{20},\quad x_1=-\frac{3}{5},\quad x_2=1.$$
Значит, $$-\frac{3}{5}\le x\le 1.$$
Второе неравенство:
$$10x^2-4x-16\le 0.$$
$$D=16+640=656,\quad \sqrt D=4\sqrt{41},$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm 4\sqrt{41}}{20}=\frac{1\pm \sqrt{41}}{5}.$$
Тогда
$$\frac{1-\sqrt{41}}{5}\le x\le \frac{1+\sqrt{41}}{5}.$$
Пересечение полученных промежутков даёт
$$x\in\left[-\frac{3}{5};\,1\right].$$
Ответ
а) $$x\in(6;+\infty)$$; б) $$x\in[-1;+\infty)$$; в) $$x\in\left(-\infty;-\frac{9}{14}\right]\cup[1;+\infty)$$; г) $$x\in\left[-\frac{3}{5};1\right].$$
