Упр.29.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$|x^2+4x-5|\le x^2+4x-5.$$

Чтобы модуль был не больше самого выражения, нужно, чтобы

$$x^2+4x-5\ge 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$x^2+4x-5=0,$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2},\quad x_1=-5,\; x_2=1.$$

Тогда

$$x^2+4x-5=(x+5)(x-1)\ge 0,$$

откуда

$$x\in(-\infty;-5]\cup[1;+\infty).$$

б) $$\left|x-2-\frac{3}{x}\right|\le \frac{x^2-2x-3}{x}.$$

Преобразуем левую часть:

$$x-2-\frac{3}{x}=\frac{x^2-2x-3}{x}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\left|\frac{x^2-2x-3}{x}\right|\le \frac{x^2-2x-3}{x}.$$

Это возможно только при

$$\frac{x^2-2x-3}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

Решим неравенство:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1),$$

$$\frac{(x-3)(x+1)}{x}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;3.$$

По знакам получаем

$$x\in[-1;0)\cup[3;+\infty).$$

в) $$\left|8x^2+\frac{1}{x}\right|\le 8x^2+\frac{1}{x}.$$

Аналогично, нужно, чтобы

$$8x^2+\frac{1}{x}\ge 0,\qquad x\ne 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{8x^3+1}{x}\ge 0.$$

Разложим числитель:

$$8x^3+1=(2x+1)(4x^2-2x+1).$$

Так как $$4x^2-2x+1>0$$ при всех $$x,$$ остаётся решить

$$\frac{2x+1}{x}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-\frac12,\;0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-\tfrac12]\cup(0;+\infty).$$

г) $$\left|\frac{1-x}{x+2}\right|\cdot|x+2|\le x-1.$$

Область определения: $$x\ne -2.$$

Левая часть упрощается:

$$\left|\frac{1-x}{x+2}\right|\cdot|x+2|=|1-x|.$$

Получаем

$$|1-x|\le x-1.$$

Правая часть неотрицательна только при

$$x-1\ge 0,$$

то есть

$$x\ge 1.$$

При $$x\ge 1$$ имеем $$|1-x|=x-1,$$ значит неравенство выполняется. Учитывая ОДЗ, получаем

$$x\in[1;+\infty).$$

Ответ: а) $$(-\infty;-5]\cup[1;+\infty)$$; б) $$[-1;0)\cup[3;+\infty)$$; в) $$(-\infty;-\tfrac12]\cup(0;+\infty)$$; г) $$[1;+\infty).$$