Упр.29.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$x$$ принадлежит области определения функции $$f(x)$$.

а)

Если $$f(x)\ge 0$$, то $$|f(x)|=f(x)$$, и неравенство

$$|f(x)|<f(x)$$

превращается в

$$f(x)<f(x),$$

то есть в неверное утверждение.

Если же $$f(x)<0$$, то $$|f(x)|=-f(x)$$, и тогда

$$|f(x)|<f(x)\iff -f(x)<f(x)\iff -2f(x)<0\iff f(x)>0,$$

что противоречит условию $$f(x)<0$$.

Значит, неравенство $$|f(x)|<f(x)$$ не выполняется ни при каких значениях $$x$$ из области определения функции.

б)

Рассмотрим неравенство $$|f(x)|\le f(x)$$.

Если $$f(x)\ge 0$$, то $$|f(x)|=f(x)$$, и неравенство выполняется.

Если $$f(x)<0$$, то $$|f(x)|=-f(x)$$, и получаем

$$-f(x)\le f(x)\iff -2f(x)\le 0\iff f(x)\ge 0,$$

что невозможно при $$f(x)<0$$.

Следовательно, $$|f(x)|\le f(x)$$ равносильно условию $$f(x)\ge 0$$.

Аналогично для неравенства $$|-f(x)|\le f(x)$$ имеем $$|-f(x)|=|f(x)|$$, поэтому оно также равносильно $$|f(x)|\le f(x)$$, то есть $$f(x)\ge 0$$.

Ответ: а) неравенство $$|f(x)|<f(x)$$ не имеет решений; б) каждое из неравенств $$|f(x)|\le f(x)$$ и $$|-f(x)|\le f(x)$$ равносильно неравенству $$f(x)\ge 0$$.